Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #31  
Old 26 พฤษภาคม 2015, 00:24
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ถ้าผมไม่ผิดนะครับ โจทย์ข้อนี้น่าจะผิดครับ PB ไม่น่าจะเท่ากับ RB ได้ครับ

อีกอย่างนึงคือระวังจุดที่ลากตั้งฉาก R ขึ้นไปชน AP ใช่ว่าจะต้องอยู่บนวงกลมนะครับ

โจทย์ข้อนี้มันน่าจะมีปัญหาอยู่แล้วครับ อย่าพึ่งวิตกไป
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #32  
Old 26 พฤษภาคม 2015, 13:53
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ผมผิดเองครับ คำว่า touches คือ ต้องมีอีกจุดที่สัมผัสวงกลม O ด้วย ไม่น่าเลย

ให้จุดสัมผัสจุดนั้นเป็น T ละกัน

เข้าใจกลยุทธ์ของ France แล้วครับ

คือลากเส้นผ่านศูนย์กลาง RS ของวงกลมวงเล็กตัด AP ที่ N

แล้วลาก BN ตัด PR ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า PXB กับ RXB เท่ากันทุกประการ

ดูจาก scale แล้วน่าจะฉากแหละครับ แต่ผมไม่รู้ว่าถึงกับต้องงัด lemma เส้นตั้งฉากมารึเปล่า

ที่มันบอก BN ตั้งฉาก PR ก็ต่อเมื่อ $BP^2-BR^2=PN^2-NR^2$ (ยังไม่ได้ลองคิด)

แต่ประเด็นคือ ถ้าพิสูจน์ว่ามันตั้งฉากกันแล้ว เรายังไม่รู้นิครับว่า PX=XR หรือเปล่า

อันนี้ต้องถามคุณ France ว่าจะจัดการยังไงต่อ เพราะผมเองก็ยังไม่หลุดครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #33  
Old 26 พฤษภาคม 2015, 15:33
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
แต่ประเด็นคือ ถ้าพิสูจน์ว่ามันตั้งฉากกันแล้ว เรายังไม่รู้นิครับว่า PX=XR หรือเปล่า
จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอยู่บนเส้น $NB$ ลากไปตั้งฉากกับคอร์ดจะแบ่งครึ่งครับ

ผมลองลากเส้นขนานกับ $NR$ (อยู่บน $\bigtriangleup APB$ ) วาดวงกลมล้อมรอบ แล้วไล่มุม ติด 2 ตัวแปร รูปใหม่
สังเกตว่าค่าของมุมมันจะเท่าเดิมครับ กรณีเดียวที่มันจะตั้งฉากกันคือ $NR=NP$ ซึ่งก็ยังไม่ออกเลยครับ

ปล. ลงโจทย์เรขาเพิ่มได้เลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

26 พฤษภาคม 2015 18:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #34  
Old 26 พฤษภาคม 2015, 19:46
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

กำลังจะลงเรขาอยู่พอดีครับ

1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่ง $AB \neq BC$, ให้ $T$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ ให้ $A_1$ และ $C_1$ เป็นจุดปลายเส้นส่วนสูงที่ลากจาก $A$ และ $C$ ตามลำดับ, ลากเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $A$ และเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $C$ ไปตัดกันที่ $Z$, ให้ $X$ เป็นจุดตัดของ $ZA$ และ $A_1C_1$ และ $Y$ เป็นจุดตัดของ $ZC$ และ $A_1C_1$

จงพิสูจน์ว่า $T$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $XYZ$

2. กำหนดให้ $\Omega$ เป็นวงกลมที่มี $AC$ เป็นคอร์ด, ถ้า $\omega$ เป็นวงกลมที่สัมผัส $AC$ และ วงกลม $\Omega$ ที่จุด $B,G$ ตามลำดับ ให้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง $AC$ ที่ไม่มี $G$ จงพิสูจน์ว่า จุด $B,G,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

Note: ข้อนี้เป็น lemma ที่เอาไปใช้ในโจทย์เรขาคุณ Aquila ข้อ 3 ได้ครับ

3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมและ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$, ให้ $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $AM$ และ $MC$ ซึ่ง $PQ=\dfrac{1}{2}AC$, ถ้าวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABQ$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $X \neq B$ , วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ฺBCP$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $Y \neq B$, จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $BMXY$ มีวงกลมล้อมรอบ

__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

04 มิถุนายน 2015 21:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #35  
Old 03 มิถุนายน 2015, 19:05
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

สำหรับคนที่อยากฝึกนัมเบอร์นะครับ

1. จงแสดงว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้

2. กำหนดให้ $a_1,a_2,...,a_{2015}\in[1,2,...,2558]$ และ

$$\forall i=1,2,...,2014;2558|a_i(a_{i+1}-1)$$

จงแสดงว่า $2558 \nmid a_{2015}(a_1-1)$

3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

"สำหรับแต่ละจำนวนนับ $n>1$ เศษที่เหลือจากการหาร $2^{2^n}$ ด้วย $2^n-1$ จะอยู่ในรูป $4^a$ โดยที่ $a\in\mathbb{N}_0$"

ข้อความนี้จริงหรือเท็จ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #36  
Old 04 มิถุนายน 2015, 00:05
ความรู้ยังอ่อนด้อย's Avatar
ความรู้ยังอ่อนด้อย ความรู้ยังอ่อนด้อย ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 18 กันยายน 2010
ข้อความ: 175
ความรู้ยังอ่อนด้อย is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
กำลังจะลงเรขาอยู่พอดีครับ

1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่ง $AB \neq BC$, ให้ $T$ เป็นจุดศูนย์กลางของ $AC$ ให้ $A_1$ และ $C_1$ เป็นจุดปลายเส้นส่วนสูงที่ลากจาก $A$ และ $C$ ตามลำดับ, ให้ $Z$ เป็นจุดตัดของเส้นสัมผัสกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ จาก $A,C$ ตามลำดับ, ให้ $X$ เป็นจุดตัดของ $ZA$ และ $A_1C_1$ และ $Y$ เป็นจุดตัดของ $ZC$ และ $A_1C_1$

จงพิสูจน์ว่า $T$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $XYZ$

2. กำหนดให้ $\Omega$ เป็นวงกลมที่มี $AC$ เป็นคอร์ด, ถ้า $\omega$ เป็นวงกลมที่สัมผัส $AC$ และ วงกลม $\Omega$ ที่จุด $B,G$ ตามลำดับ ให้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งที่ไม่มี $G$ จงพิสูจน์ว่า จุด $B,G,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

Note: ข้อนี้เป็น lemma ที่เอาไปใช้ในโจทย์เรขาคุณ Aquila ข้อ 3 ได้ครับ

3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมและ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$, ให้ $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $AM$ และ $MC$ ซึ่ง $PQ=\dfrac{1}{2}AC$, ถ้าวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABQ$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $X \neq B$ , วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ฺBCP$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $Y \neq B$, จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $BMXY$ มีวงกลมล้อมรอบ

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #37  
Old 04 มิถุนายน 2015, 13:26
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
กำลังจะลงเรขาอยู่พอดีครับ
ขอบคุณมากครับเรขา ต่อได้เลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #38  
Old 04 มิถุนายน 2015, 21:29
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

##คุณความรู้ยังอ่อนด้อย

เรขาถูกทั้ง 3 ข้อแล้วครับ

คอมบิ ข้อหนึ่ง คือจะให้หาลำดับ $a_i$ ที่ทำให้ค่า $m$ มากที่สุดครับ ($m$ คือจำนวนของคู่อันดับ $(i,j,k)$ ซึ่ง $(a_i,a_j,a_k)$ อยู่ในรูป $(l,l+1,l+2)$)

ข้อสอง
ข้อสาม ถูกต้องครับ สมการสุดท้ายจริงๆเป็นการประยุกต์มาจาก

$\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i^2=\sum_{i=1}^n l_i^2$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i=\sum_{i=1}^n l_i$ ครับ

Number ข้อสอง ต้อง $a_1,a_2,...,a_{2015}$ แตกต่างกันหรือเปล่าครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

04 มิถุนายน 2015 21:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #39  
Old 04 มิถุนายน 2015, 21:50
ความรู้ยังอ่อนด้อย's Avatar
ความรู้ยังอ่อนด้อย ความรู้ยังอ่อนด้อย ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 18 กันยายน 2010
ข้อความ: 175
ความรู้ยังอ่อนด้อย is on a distinguished road
Default

#38 NT.3 ลองยกตัวอย่างหน่อยได้มั้ยครับ (ทำแล้วมันเหมือนจริง 55555555)

ปล.ยินดีด้วยนะครับ ผู้แทน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #40  
Old 04 มิถุนายน 2015, 21:51
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย View Post
1. ข้อแรกงงครับ แบบเหมือนผมไม่รู้ว่า $a_1$ เริ่มที่ค่าไหนอ่ะครับ (เข้าใจอะไรผิด ขออภัยครับ)
2. ผมทำงง ๆ ได้ k=n เลยไม่รู้จะพิสูจน์ยังไง
1.ข้อนี้ถึงจะเป็น IMO SL แต่ผมมองว่าเอามาออก TMO ได้เหมือนกันนะ

ลองดู IMO Shortlist ปี 2001/C1

2.ดูผิวๆคล้ายๆ IMO 2012/3 เลยนะครับ แต่น่าจะง่ายกว่าพอสมควร

ผมไม่ค่อยเข้าถึงโจทย์แนวนี้เท่าไร ลองๆ ค้นจากเฉลย IMO ดูครับ

เพราะข้อนั้นตัว statement จะ strong กว่านี้

แต่ถ้าให้พิจารณาหยาบๆ คงต้องลองแบ่งซับเซตของ $2n$ ออกมาเป็นส่วนๆ

แล้วใช้เครื่องมือพวกเซต (ซับเซต+complement) มาบีบออกจนกว่าจะเจอตัวเลขจริงๆ

ไม่การันตีว่าหลุดนะครับ
---------------------------------------------------------------------
ส่วนของน้อง image

ข้อ 3 เหมือนง่ายสุดหรือเปล่า ใช้ congruence หาคร่าวๆได้เศษเป็น 0 1 4 16

ก็ตอบว่าจริง แต่เวลาจะพิสูจน์ ก็สังเกตว่า $2^{2^n}$ มันบับให้ใกล้ๆกับ $2^n-1$ ได้

แล้วก็เขียน $2^n=nt+r$ โดย $r$ เป็นเศษ แล้วใช้คอนกรูเอนซ์โชว์ว่าเศษอยู่ในรูป $2^{2a}$ บาง $a$

ข้อ 2 มันมีกรณีทั่วไปอยู่ เป็น IMO 2009/1 ซึ่งไม่ยากมาก

ไอเดียคือใช้ $n \mid a_{i}(a_{i}-1)$ ทุก $i$ ไปสร้างความสัมพันธ์ของ $a_{1}$ กับ $a_{k}$

มาทำ contradiction กับ $n \mid a_{k}(a_{1}-1)$

(ข้อนี้ต้องกำหนดด้วยว่า $a_{i}$ ต่างกันหมด)

ส่วนข้อ 1 นี่ผมมองว่ายากสุด เพราะต้องทำหลายขั้นตอน

1.เซตให้ $\frac{p}{n}=0.d_{1}d_{2}...$ เมื่อ $d_{i}$ เป็นเลขโดด

2.ตั้งข้อสังเกตโดยเอา 10 คูณสมการบนแล้วส่งต่อ division algo
$10p=nd_{1}+r_{1}$
$10r_{1}=nd_{2}+r_{2}$ จนไปถึง $n$
$10r_{n}=nd_{n+1}+r_{n+1}$

3.ให้เหตุผลด้วยนกพิราบ ระหว่าง $r_{1},...,r_{n+1}$ กับเศษในมอดุโล $n$

4.ต้องมี $k,m$ ที่ทำให้ $r_{k}=r_{m}$

5.สมมติไม่เสียนัยให้ $m > k$ there exists $t$ โดย $t=m-k$

6.ตัว index $t=m-k$ จะประพฤติตัวเป็นคาบของการซ้ำทศนิยม
เราก็ส่งต่ออุปนัยแบบที่ 2 เพื่อพิสูจน์ว่า $d_{j}=d_{j+t}$ และ $r_{j+t}=r_{j}$ ทุก $j=k+1,k+2,...$
ให้ข้อความบนแทนด้วย $P(j)$ แล้ว prove
1.$P(k+1)$ จริง
2. สมมติ $P(j)$ จริงเมื่อ $j \geq k+1$ แล้ว $P(j+1)$ จริง

ปล.โจทย์ข้อ 3 ของคุณ THGX ผมมองว่าเป็นโจทย์ที่ดีสำหรับ TMO ครับ

ควรค่าแก่การฝึก และมีแนวโน้มจะออกข้อสอบได้มากอยู่
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #41  
Old 04 มิถุนายน 2015, 22:23
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

- - ข้อ 3 คุณ beatmania
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

04 มิถุนายน 2015 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #42  
Old 04 มิถุนายน 2015, 23:10
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

แนวต่อออกไปข้างนอกแล้วไล่ด้านไล่มุม

1.(three radical lemma)
ให้วงกลมมี O เป็นศูนย์กลางผ่านจุดยอด A,C ของสามเหลี่ยม ABC และ AB กับ BC ที่จุด K,N ตามลำดับ
ให้วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC และ KBN ตัดคนละจุดกันที่ B และ M พิสูจน์ว่า AC,KN,BM มีจุดตัดร่วมกัน

2.จากข้อ 1 ให้พิสูจน์ OMB เป็นมุมฉาก (ใช้ lemma เส้นตั้งฉากร่วมกันกับข้อ 1 สรุปข้อ 2)

3.ให้ w เป็นวงกลมล้อมรอบ ABC วงกลมผ่าน A กับ C ตัดด้าน BC กับ BA ที่ D,E ตามลำดับ
ต่อ AD กับ CE ชน w ที่ G,H ตามลำดับ ให้เส้นสัมผัส w ที่ A กับ C ตัดกับ DE ที่ L,M ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า LH กับ MG ตัดกันบน w

4.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมี C เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นส่วนสูงลากจาก C ไปชน AB ให้ X เป็นจุดใดๆบน CD
ให้ K,L เป็นจุดบน AX กับ BX ที่ทำให้ BK=BC และ AL=AC ตามลำดับ ให้ M เป็นจุดตัดของ AL กับ BK
จงแสดงว่า MK=ML

แนว Euler's line (แนวๆ G12 TMO8)

5.ให้ A,B,C,D 4 จุด concyclic อยู่บนวงกลม ให้ H1 กับ H2 เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม ACD กับ DBC ตามลำดับ จงพิสูจว่า H1H2 ขนานกับ AB

6.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ให้ TA TB TC เป็นจุดที่ incircle ของ ABC สัมผัสด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า centroid ของสามเหลี่ยม TATBTC , incenter และ circumcenter ของสามเหลี่ยม ABC
อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

7.นิยาม TA TB TC เหมือน 6 สะท้อน TA ข้าม TBTC ไปที่ TA' และให้ A' เป็นจุดตัดของ ATA' กับ BC
B' C' นิยามเหมือน A' จงพิสูจน์ว่า A',B',C' อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันบน Euler line ของ TATBTC
---------------------------------------------------------------------------------
ปล.ข้อ 5 ไม่ยากมาก แต่ 6 7 ยากอยู่ ผมพยายามเก็งจาก TMO8 ถ้าคิดว่ายากเกินก็ข้ามไปเลยครับ

ส่วนตัวมองว่าข้อสอบน่าจะออกแนวใหม่ๆ มากกว่า ไม่เอาแนวเดิมแต่ยากขึ้นมาต่อยอด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #43  
Old 05 มิถุนายน 2015, 08:14
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

แนวสร้างเทอมเป็นอนันต์

1.ให้ $k \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และมีลำดับเพิ่ม $a_{1}<a_{2}<...$
ที่ทำให้ $p+ka_{1},p+ka_{2},p+ka_{3},...$ เป็นจำนวนเฉพาะ

แนวใช้ Euler's theorem สร้ามเทอม

2.ให้ลำดับ $a,a+b,a+2b,...$ เป็นลำดับเลขคณิตโดยมี $(a,b)=1$
2.1 จงแสดงว่าลำดับนี้มีลำดับย่อยซึ่งเป็นลำดับอนันต์และมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน
2.2 จงแสดงว่าลำดับนี้มีคู่อันดับที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นจำนวนอนันต์คู่

3.ให้ $m,n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $(m,n-1)=(m,n)=1$
ให้ลำดับ $n_{1},n_{2},...$ กำหนดโดย $n_{1}=mn+1$ และ $n_{k+1}=nn_{k}+1$
จงแสดงว่าในลำดับ $n_{1},n_{2},...,n_{m-1}$ มีจำนวนประกอบอย่างน้อย 1 ตัว

4.ให้ $a_{t}$ เป็นลำดับนิยามโดย $a_{1}=2$ และ $a_{t+1}=2^{a_{t}}$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี M ที่ทำให้ $a_{k} \pmod{n}$ เป็นค่าคงตัวทุก $k \geq M$
(ข้อนี้ยากที่สุด ต้องแบ่งคู่-คี่+อุปนัย)

5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ $t$ เป็นจำนวนเต็มบวก
ให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่ $(m,p)=(m,p-1)=1$ ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกต่างกัน มี $(a,p)=(b,p)=1$
จงแสดงว่า $a^{m} \equiv b^{m} \pmod{p^t}$ ก็ต่อเมื่อ $a \equiv b \pmod{p^t}$

แนว Fermat's Number

6.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใหญ่กว่า 2 และ $f_{n}=2^{2^n}+1$
จงแสดงว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p \mid f_{n}$ แล้ว $p \mid (f_{n-1})^{2^{n+1}}+1$

แนวใช้ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็มกับอสมการ

7.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
7.1 จงแสดงว่า $n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ไม่เป็น square
7.2 จงแสดงว่า ลำดับ $1,2,...,n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$
มีจำนวนเต็มที่เป็น square อยู่ $\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ตัว

ปล.ข้อ 1-5 เป็นโจทย์ number theory construction
ส่วน 6,7 เป็นโจทย์ทั่วๆไป

เดี๋ยวจะไปหาโจทย์ FE แนวแปลกๆมาเพิ่มให้ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #44  
Old 05 มิถุนายน 2015, 17:05
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
แนวต่อออกไปข้างนอกแล้วไล่ด้านไล่มุม

1.(three radical lemma)
ให้วงกลมมี O เป็นศูนย์กลางผ่านจุดยอด A,C ของสามเหลี่ยม ABC และ AB กับ BC ที่จุด K,N ตามลำดับ
ให้วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC และ KBN ตัดคนละจุดกันที่ B และ M พิสูจน์ว่า AC,KN,BM มีจุดตัดร่วมกัน
ผมลองไล่มุมดูครับ (พิสูจน์ว่า Othrocenter $\triangle ABC$ อยู่บนวงกลมล้อมรอบ $\triangle KNB$) ได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมาหลายเลย แต่ว่าจะใช้ทฤษฏีไหนรองรับหรอครับว่า เส้นสามเส้นตัดกันจุดเดียว
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

05 มิถุนายน 2015 17:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #45  
Old 06 มิถุนายน 2015, 00:16
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth View Post
ผมลองไล่มุมดูครับ (พิสูจน์ว่า Othrocenter $\triangle ABC$ อยู่บนวงกลมล้อมรอบ $\triangle KNB$) ได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมาหลายเลย แต่ว่าจะใช้ทฤษฏีไหนรองรับหรอครับว่า เส้นสามเส้นตัดกันจุดเดียว
ไอเดียโจทย์แนวนี้แบบพื้นๆคือลาก 2 เส้นแรกก่อนให้ไปตัดกันที่จุดข้างนอกสักจุด

แล้วลากจากจุดที่มันตัดกัน ให้ไปชนกับที่เราต้องการพิสูจน์

จากนั้นพิสูจน์ว่า จุดๆนั้นเป็นจุดเดียวกัน

--------------------------------------------------
เริ่มจากต่อ AC กับ NK ออกไปตัดกันที่ P ก่อน

แล้วก็ลากจาก P โดยลาก PB ตัดวงกลมล้อม KBN ที่ M'

แล้ว prove ว่า M'=M ครับ

-------------------------------------------------
เวลาพิสูจน์ key คือทำให้ M' ไปอยู่บนวงกลมล้อมรอบ ABC ให้ได้

คือพิสูจน์ให้ได้ว่า M'ABC concyclic นั่นเองครับ

เหตุผลจะตามมาว่า M' เป็นจุดตัดของ (ABC) กับ (KBN) อีกจุดที่ไม่ใช่ B

มันจะบังคับว่า M'=M เลยครับ

สรุปคือพิสูจน์ concyclic 2 ครั้ง กับ CNM'P และ M'BAC (ไล่มุม)

----------------------------------------------------
อีกวิธีเป็นวิธีของผมเอง คือ ลาก CA BM ตัดกันที่ Z

ลาก CA ตัดกับ NK ที่ Z1

ลาก NK ตัด BM ที่ Z2

แล้วพิสูจน์ว่า Z=Z1=Z2

ใช้เหตุผลเส้นตรงเดียวกันเป็นชุดๆมาสรุป

ปล. K กับ N เป็นจุดตัดของวงกลมที่ผ่าน A,C กับด้านสามเหลี่ยม AB,BC
ลองวาดรูปดีๆครับ ortho ABC ไม่น่าจะอยู่บน (KBN) ครับ

ปล2. (KBN) หมายถึงวงกลมล้อมรอบ KBN ครับ

06 มิถุนายน 2015 00:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aquila
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:00


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha