ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[winlose]

ข้อ21ครับ ลองดูอีกวิธี

solution

$a+b+c=\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$
จากอสมการ Cauchy-Schwarz
$\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{x+y+z}$
แต่ $x+y+z\not=0$
$\frac{\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}}{\sqrt{x+y+z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}$
$\frac{a+b+c}{\sqrt{x+y+z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}$
$\therefore \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\leqslant \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}$

[คณิตศาสตร์]

ข้อ19.ทำด้านขวาของอสมการแล้วใช้โคชี
$1+\sqrt{ab}\leqslant (\sqrt{1+\sqrt{a^2})(\sqrt{1+\sqrt{b^2})$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{1+a}\sqrt{1+b}$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{(1+a)(1+b)}$

ข้อ20.
กระจายออกมาในด้านซ้ายของอสมการแล้วใช้โคชีได้เป็น
$ad+bc+ca+db\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{d^2+c^2+a^2+b^2}$
$ad+bc+ca+db\leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$

ข้อ21.
$a+b+c = \frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}$
$\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
$(a+b+c)^2\leqslant (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
พี่ขอโจทย์แบบเศษส่วนมาอีกนะครับผมยังไม่เข้าใจเท่าไรเลยในการจัดรูปแนวเศษส่วนแล้วใช้โคชีอะครับ แล้วพี่แนะนำเทคนิคเกี่ยวกับอันนี้ด้วยก็ดีครับ

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ19.ทำด้านขวาของอสมการแล้วใช้โคชี
$1+\sqrt{ab}\leqslant (\sqrt{1+\sqrt{a^2})(\sqrt{1+\sqrt{b^2})$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{1+a}\sqrt{1+b}$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{(1+a)(1+b)}$

ข้อ20.
กระจายออกมาในด้านซ้ายของอสมการแล้วใช้โคชีได้เป็น
$ad+bc+ca+db\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{d^2+c^2+a^2+b^2}$
$ad+bc+ca+db\leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$

ข้อ21.
$a+b+c = \frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}$
$\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
$(a+b+c)^2\leqslant (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
พี่ขอโจทย์แบบเศษส่วนมาอีกนะครับผมยังไม่เข้าใจเท่าไรเลยในการจัดรูปแนวเศษส่วนแล้วใช้โคชีอะครับ แล้วพี่แนะนำเทคนิคเกี่ยวกับอันนี้ด้วยก็ดีครับ

ใช่เหรอครับ

[คณิตศาสตร์]

ให้พี่ noonuii มาตรวจสอบดูล่ะกัน

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ19.ทำด้านขวาของอสมการแล้วใช้โคชี
$1+\sqrt{ab}\leqslant (\sqrt{1+\sqrt{a^2})(\sqrt{1+\sqrt{b^2})$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{1+a}\sqrt{1+b}$
$1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{(1+a)(1+b)}$

ข้อ20.
กระจายออกมาในด้านซ้ายของอสมการแล้วใช้โคชีได้เป็น
$ad+bc+ca+db\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{d^2+c^2+a^2+b^2}$
$ad+bc+ca+db\leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$

ข้อ21.
$a+b+c = \frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}$
$\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}$$\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
$(a+b+c)^2\leqslant (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
พี่ขอโจทย์แบบเศษส่วนมาอีกนะครับผมยังไม่เข้าใจเท่าไรเลยในการจัดรูปแนวเศษส่วนแล้วใช้โคชีอะครับ แล้วพี่แนะนำเทคนิคเกี่ยวกับอันนี้ด้วยก็ดีครับ

ต้องเป็น $\sqrt{x+y+z}$ สิครับ ตาม Cauchy-Schwarz Inequality

[คณิตศาสตร์]

ขอบคุณครับผมสะเพร่าอีกแล้ว 555+ พี่noonuii ขอโจทย์แบบแนวเศษส่วนนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ขอบคุณครับผมสะเพร่าอีกแล้ว 555+ พี่noonuii ขอโจทย์แบบแนวเศษส่วนนะครับ

สำหรับโจทย์แนวเศษส่วนที่ใช้อสมการโคชี
โจทย์ข้อ 21 คืออสมการต้นแบบที่เราจะนำมาใช้
แทนอสมการโคชีในรูปทั่วไป
ฝึกใช้ให้คล่องแล้วจะทำโจทย์อสมการได้อีกเยอะครับ

$a,b,c>0$

22. $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$

23. $2a^2+3b^2+6c^2\geq (a+b+c)^2$

24. $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geq\dfrac{4}{3}(a+b+c)^2$

25. $(a+b)(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)^2$

26. $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\geq a+b+c$

[Mathematica]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 21 ครับ

Proof

From Cauchy-Schwarz Inequality
$a\sqrt{xyz}+b\sqrt{xyz}+c\sqrt{xyz} \leq \sqrt{a^2yz+b^2xz+c^2xy}\sqrt{x+y+z}$
$\sqrt{xyz}(a+b+c) \leq \sqrt{a^2yz+b^2xz+c^2xy}\sqrt{x+y+z}$
ยกกำลังสอง
$xyz(a+b+c)^2 \leq (a^2yz+b^2xz+c^2xy)(x+y+z)$
$\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} \leq \frac{a^2yz+b^2xz+c^2xy}{xyz}$
$\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} \leq \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}$
$\therefore \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
จบการพิสูจน์ครับ

โอ้ มันคือ Titu Identities ครับผม
บรรทัดล่างขยายไปรูปทั่วไปได้ครับผม

[warutT]

ข้อ 22 ครับ

Proof

จากอสมการที่เราพิสูจน์ได้ในรูปทั่วไปของข้อ 21 ครับ
จะได้
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$
$\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}$
$=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$
จบการพิสูจน์

[warutT]

ช้อ 23 ครับ

Proof

จากอสมการข้อ 21
$2a^2+3b^2+6c^2$
$=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}$
$\leq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$
$=(a+b+c)^2$ จบการพิสูจน์

[warutT]

ข้อ 24 ครับ

Proof

จากอสมการข้อที่ 21
$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=\frac{(a+b)^2}{1}+\frac{(b+c)^2}{1}+\frac{(c+a)^2}{1}$
$\geq \frac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{1+1+1}$
$=\frac{(2a+2b+2c)^2}{3}$
$=\frac{4}{3}(a+b+c)^2$
จบการพิสูจน์

[warutT]

ข้อ 25 ครับ

Proof

จากอสมการข้อ 21 ครับ
$a^3+b^3=\dfrac{a^4}{a}+\dfrac{b^4}{b}=\dfrac{(a^2)^2}{a}+\dfrac{(b^2)^2}{b}$
$\geqslant \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$
$a^3+b^3 \geqslant \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$
$(a+b)(a^3+b^3) \geqslant (a^2+b^2)^2$
จบการพิสูจน์ครับ

[warutT]

ข้อ 26 ครับ

Proof

จาก $(a-b)^2 \geq 0$

$a^2-2ab+b^2 \geq 0$

$a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$

$(a+b)^2 \geq 4ab$

$\dfrac{a+b}{2} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$

$\therefore -\dfrac{2ab}{a+b} \geq -\dfrac{a+b}{2}$ ...(1)

ในทำนองเดียวกัน

$-\dfrac{2bc}{b+c} \geq -\dfrac{b+c}{2}$ ...(2)

$-\dfrac{2ca}{c+a} \geq -\dfrac{c+a}{2}$ ...(3)

จากอสมการข้อที่ 21

$\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$

$\geq \dfrac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}$

$=2(a+b+c)$ ...(4)

Then,

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}$

$=\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$

$-\dfrac{2ab}{a+b}-\dfrac{2bc}{b+c}-\dfrac{2ca}{c+a}$

$\geq 2(a+b+c)-(a+b+c)=a+b+c$ (From(1),(2),(3) and (4))

$\therefore \dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \geq a+b+c$

จบการพิสูจน์

ปล.ขอโจทย์เพิ่มครับ

[nooonuii]

ข้อ 23 ยังมีที่ผิดอยู่ครับ ลองกลับไปแก้อีกรอบ คิดว่าแค่พิมพ์ผิดเท่านั้น

ข้อ 26 มีวิธีที่ง่ายกว่านี้คือใช้ข้อ 22 สองครั้งครับ

[nooonuii]

อสมการจะเริ่มยากขึ้นเรื่อยๆนะครับ
และอาจจะต้องใช้มากกว่า 1 อสมการในการพิสูจน์
แต่จะมีอสมการโคชีในแบบข้อ 21 เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

$a,b,c,d>0$

27. $\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}$

28. $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{a}\geq a^2+b^2$

29. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$

30. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$

31. $(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$