ช่วยหน่อยครับข้อสอบ จากเพชรยอดมงกุฎ

[Ulqiorra Sillfer]

มีวงกลมอู่สามวง ซึ่งสัมผัสซึ่งกันและกัน ดังรูปโดยมีรัศมี 1 2 และ 3 หน่วย จงหาความยาวรัศมีของวงกลมที่แนบในและสัมผัสกับวงกลมทั้งสามนั้น

[Amankris]

ลองดู L I N K


เพิ่มเติม L I N K

[gon]

รูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมทั้งสามจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 3, 4, 5

หารัศมีวงกลมเล็ก

สมมติให้วงกลมเล็กมีรัศมีเป็น r

ตั้งแกนพิกัดฉาก โดยสมมติให้จุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมรัศมี 1 หน่วย
จะได้ว่าวงกลมรัศมี $r+1, r+2, r+3$ ตัดกันที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r

จึงได้ระบบสมการ

$x^2+y^2=(r+1)^2 ...(1)$
$(x-3)^2+y^2=(r+2)^2 ...(2)$
$x^2+(y+4)^2=(r+3)^2 ...(3)$

แก้ระบบสมการ จะได้ $23r^2+132r-6 = 0 \iff (23r-6)(r+6) = 0 \Rightarrow r = 6/23$

หารัศมีวงกลมใหญ่

สมมติให้วงกลมใหญ่รัศมี R และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (x, y)

จะได้ว่าวงกลมรัศมี $R-1, R-2, R-3$ จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (x, y)
ดังนั้น

$x^2+y^2=(R-1)^2 ... (1)$
$(x-3)^2+y^2=(R-2)^2 ... (2)$
$x^2+(y+4)^2=(R-3)^2 ... (3)$

แก้ระบบสมการ จะได้ $23R^2-132R-6 = 0 \iff (23R+6)(R-6) = 0 \Rightarrow R = 6$

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

รูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมทั้งสามจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 3, 4, 5

หารัศมีวงกลมเล็ก

Attachment 5627

สมมติให้วงกลมเล็กมีรัศมีเป็น r

ตั้งแกนพิกัดฉาก โดยสมมติให้จุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมรัศมี 1 หน่วย
จะได้ว่าวงกลมรัศมี $r+1, r+2, r+3$ ตัดกันที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r

จึงได้ระบบสมการ

$x^2+y^2=(r+1)^2 ...(1)$
$(x-3)^2+y^2=(r+2)^2 ...(2)$
$x^2+(y+4)^2=(r+3)^2 ...(3)$

แก้ระบบสมการ จะได้ $23r^2+132r-6 = 0 \iff (23r-6)(r+6) = 0 \Rightarrow r = 6/23$

หารัศมีวงกลมใหญ่

Attachment 5628

สมมติให้วงกลมใหญ่รัศมี R และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (x, y)

จะได้ว่าวงกลมรัศมี $R-1, R-2, R-3$ จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (x, y)
ดังนั้น

$x^2+y^2=(R-1)^2 ... (1)$
$(x-3)^2+y^2=(R-2)^2 ... (2)$
$x^2+(y+4)^2=(R-3)^2 ... (3)$

แก้ระบบสมการ จะได้ $23r^2-132r-6 = 0 \iff (23r+6)(r-6) = 0 \Rightarrow r = 6$

ขอบคุณมากครับพี่กอน อธิบายกระจ่างมากๆ

[OMG]

ทำไมถึงได้ระบบสมการออกมาเหรอครับ

แล้วทำไมสมการวงกลมต้องเปลีี่ยนจุดยอดด้วย

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

ทำไมถึงได้ระบบสมการออกมาเหรอครับ

แล้วทำไมสมการวงกลมต้องเปลีี่ยนจุดยอดด้วย

ปัญหาเรขาคณิตมันอธิบายยากนะครับ ถ้าเข้าใจก็คือ เข้าใจ ถ้าไม่เข้าใจก็ไม่เข้าใจ

รูปแรกใช้หา r วงกลมน้ำเงินสามวงตัดกันที่จุดศูนย์กลางของวงกลมเล็ก


, รูปที่สองใช้หารัศมี R ซึ่งวงกลมสีแดงทั้งสามจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเดียวกัน

[OMG]

โฮ ขอบคุณครับ ผมเข้าใจแล้วละครับ

[ง่วงนอน]

สพฐ รึเปล่าคับเนี้ย

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ง่วงนอน

สพฐ รึเปล่าคับเนี้ย

เหมือนจะอยู่ข้อสุดท้ายของเพชรยอดมงกุฏปีนึงอะครับ

[modant]

แก้สมการให้ดูหน่อยครับ แก้ไม่ถูกงะ