ลำดับ-อนุกรม ม.ปลายครับช่วยด้วย

[bakured]

ตามหัวข้อเลยนะครับ ผมคิดไม่ได้อะครับ ช่วยแนะวิธีให้ด้วยนะครับ

1. s(n)=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n}$และ t(n)=s(1)+s(2)+...+s(n)
ถ้าt(7)=as(7)+bแล้วจงหาค่าของ a+b
2.จงหาค่าของ $\frac{1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-...+.. }{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+... }$
3. กำหนดให้ $e^x$=$1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$+....
จงหาค่าของ $1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}$+....
4. จงหาค่าของ $\frac{2}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{4}{3!}$+....
5.จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้อนุกรมใดลู่เข้า
a. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$
b. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{20^n}{n^20}$
c. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

6.กำหนดให้Aคือเมตริกซ์ ถ้าa(n)=det$(\frac{1}{2}A)^n$ เมื่อnเป็นจำนวนเต็มบวกแล้วจงหาค่าของ
$\sum_{n = 1}^{\infty} a(n)$
7.จงหาผลบวกของนุกรม 2+3/2+1+5/8+....
8.1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$+....เท่ากับS จงหาผลบวกอนุกรมอนันต์
2($\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}$+...)

9.จงหาค่าของ$\frac{1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+..-...}{1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+....}$

[ง่วงนอน]

$1. t(7)=7(1)+6(\frac{1}{2})+.....+1(\frac{1}{7})
=\sum_{i = 1}^{7} \frac{8-i}{i}=\sum_{i = 1}^{7} (\frac{8}{i}-1 )=8s(7)-7$

$a+b=8-7=1$
$
2.ให้ x=1+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+.....
ได้ก้อนบน= (x- \frac{x}{4})- \frac{x}{4} จะได้ บนส่วนล่าง= \frac{1}{2}
$

[ง่วงนอน]

$
4.\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n+1}{n!}=\sum_{n = 1}^{\infty}( \frac{1}{(n-1)!}+ \frac{1}{n!} )=1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +......=1+e


$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

3. กำหนดให้ $e^x$=$1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$+....
จงหาค่าของ $1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}$+....

$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots$

$e^{-1}=1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots$

$\dfrac{e+e^{-1}}{2}=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

4. จงหาค่าของ $S=\frac{2}{1!}+\frac{3}{2!}+\frac{4}{3!}$+....

$=\dfrac{1+1}{1!}+\dfrac{1+2}{2!}+\dfrac{1+3}{3!}+\cdots$

$=\Big(\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots\Big)+\Big(\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots\Big)$

$=(e-1)+e$

$=2e-1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

5.จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้อนุกรมใดลู่เข้า
a. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$
b. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{20^n}{n^20}$
c. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

7.จงหาผลบวกของอนุกรม 2+3/2+1+5/8+....

ข้อ 5 นี่เป็นโจทย์ม.ปลายแล้วรึ

7. ให้

$S=~~~~~~~~\dfrac{2}{2^0}+\dfrac{3}{2^1}+\dfrac{4}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\cdots$

$2S=4+\dfrac{3}{2^0}+\dfrac{4}{2^1}+\dfrac{5}{2^2}+\dfrac{6}{2^3}+\cdots$

$2S-S=4+\dfrac{1}{2^0}+\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots$

$S=4+\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=6$

[bakured]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 5 นี่เป็นโจทย์ม.ปลายแล้วรึ

7. ให้

$S=~~~~~~~~\dfrac{2}{2^0}+\dfrac{3}{2^1}+\dfrac{4}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\cdots$

$2S=4+\dfrac{3}{2^0}+\dfrac{4}{2^1}+\dfrac{5}{2^2}+\dfrac{6}{2^3}+\cdots$

$2S-S=4+\dfrac{1}{2^0}+\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots$

$S=4+\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=6$

โอ้ขอบคุณมากๆนะครับ
ผมเพิ่งจะรู้นิยามeอะครับ--*
ครับ ข้อห้าเป็นโจทย์ที่ผมได้รับมานะครับ คิดไม่ออกจริงๆครับช่วยด้วยนะครับ--*

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

5.จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้อนุกรมใดลู่เข้า
a. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$
b. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{20^n}{n^20}$
c. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

$a,c$ ลู่เข้าด้วย ratio test

$b$ ลู่ออก เนื่องจาก $\lim_{n\to\infty} \dfrac{20^n}{n^{20}}=\infty$