Vector space

[PURE MATH]

ช่วยแนะนำหน่อยครับ ผมยังไม่คล่องเลย ผมทำไม่เป็นเลยครับ
1. $(a)$ Consider the set of convergent sequences, with the same addition and scalar multiplication that we defined for the space of sequences.
$V=\left\{\,f|f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ,\lim_{n \to \infty}f\in \mathbb{R} \right\} $
In this still a vector space? Expain Why or Why not.
$(b)$ Now consider the set of divergent sequences. with the same addition and scalay multiplication as before.
$V=\left\{\,f|f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ,\lim_{n \to \infty}f does not exist or is \pm \infty \right\} $ $//$ does not exist or is นะครับ
Is this vector space? Expain Why or Why not.

2. Consider the set of 2\times 4 matrices:
$V=\left\{\,\pmatrix{a & b & c & d \\ e & f & g & h}|a,b,c,d,e,f,g,h\in \mathbb{C} \right\} $
Propose definitions for addition and scalar multipliacation in $V$. Identity the zero vector in $V$, and check that every matrix has an additive inverse.

3. Let $P_3 ^\mathbb{R} $ be the set of polynomials with real coefficients of degree three or less.
$\bullet$ Propose a definition of addition and scalar multiplication to make $P_3 ^\mathbb{R} $ a vector space
$\bullet $ Identify the zero vector, and find the additive inverse for the vector $-3-2x-x^2$
$\bullet $ Show that $P_3 ^\mathbb{R} $ is not a vector space over $\mathbb{C} $. Propose a small chande to the definition of $P_3 ^\mathbb{R} $ to make it a vector space over $\mathbb{C} $

[gools]

รบกวนช่วยอธิบายนิยามของ vector space ให้ดูหน่อยครับ

[PURE MATH]

มี set ,field , การกระทำสองอย่าง (+,*) แล้วCheck operation + 5 ข้อ (closed , asso , identity , inverse , commu)กับ คูณ 5 ข้อ ป่ะ(closed,asso,identity,scalar distribute,vector distribute) ว่าเปน vector space ? ผมเข้าใจประมานนี้อ้ะครับ ข้อ 1.(a) ผม คิดว่าเป็น vector space แต่ข้ออื่น ยังมองไม่ออกเลยครับ -0-

[gools]

ใช่แล้วครับ ข้อ 1 b) ลองหา sequence $s_n$ และ $t_n$ ที่ $\lim_n s_n = \infty$ และ $lim_n t_n=- \infty$ แต่ $\lim_n s_n+t_n=0$

ส่วนข้อ 2 ถ้าผมบอกว่า zero vector ใน $V$ คือ $\pmatrix{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$ คิดว่านิยามของ vector addition และ scalar multiplication ใน $V$ คืออะไร

ข้อ 3 เรามี vector อยู่สองตัว $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ และ $b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$ โดยที่ $a_i,b_i \in \mathbb{R}$ จะนิยาม vector addition และ scalar multiplication ได้อย่างไร

[PURE MATH]

1b) ผมไม่เข้าใจว่าทำไม ลิมิต บวกกันได้ 0 อ้ะครับ.Infinity-intfity มันเปนรูปแบบไม่กำหนดไม่ใช่หรอครับ หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป 2พิสูจน์ หาอินเวอร์ส ใช่มั้ยครับ ส่วนข้อ 3 เขาจะให้เราทำอะไรอ้ะครับ. ผมยังไม่เข้าใจโจท เลยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

1b) ผมไม่เข้าใจว่าทำไม ลิมิต บวกกันได้ 0 อ้ะครับ.Infinity-intfity มันเปนรูปแบบไม่กำหนดไม่ใช่หรอครับ หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป

เข้าใจผิดไปเยอะเลยครับ

ที่คุณ gools เขา hint ข้อ 1(b) หมายความว่า ให้หาตัวอย่าง sequence ที่มีคุณสมบัติตามนั้นให้ได้ครับ แล้วมันจะยืนยันได้ว่า space นั้นไม่ closed

ตัวอย่าง sequences แบบอนุบาลที่สุด คือ $ s_n = n , t_n =-n $ แต่ละตัว divergent แต่ $s_n+ t_n =0 $ เป็น convergent sequence ครับ

[PURE MATH]

อ่อ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครีบ ยังเหลือข้อ 2.,3. ที่ยังไม่ เกทเลยครับ

[gools]

ข้อ 2 สมมติว่าเรามี matrix สองตัว เราจะนิยามการบวกของมันได้ยังไง

[PURE MATH]

$A=\bmatrix{a & b & c & d \\ e & f & g & h} $ และ $B=\bmatrix{p & q & r & s \\ x & y & z & w} $ แล้วกำหนดนิยาม $A+B=\bmatrix{a+p & b+q & c+r & d+s \\ e+x & f+y & g+z & h+w} $ และ $\alpha A=\bmatrix{\alpha a & \alpha b & \alpha c & \alpha d \\ \alpha e & \alpha f & \alpha g & \alpha h} $ ป่ะครับ เมื่อ $\alpha \in F$

[นกกะเต็นปักหลัก]

ใช่แล้วครับ

[PURE MATH]

แล้วข้อสามอ้ะครับ เดวผมจะลองเขียนมาให้เชคให้น้ะครับ -0-

[PURE MATH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

3. Let $P_3 ^\mathbb{R} $ be the set of polynomials with real coefficients of degree three or less.
$\bullet$ Propose a definition of addition and scalar multiplication to make $P_3 ^\mathbb{R} $ a vector space
$\bullet $ Identify the zero vector, and find the additive inverse for the vector $-3-2x-x^2$
$\bullet $ Show that $P_3 ^\mathbb{R} $ is not a vector space over $\mathbb{C} $. Propose a small chande to the definition of $P_3 ^\mathbb{R} $ to make it a vector space over $\mathbb{C} $

1. กำหนดให้ $P_3(F)=\left\{\,a_3x^3+a_2x^2+...+a_1x+a_0|a_i\in F , -1\leqslant k\leqslant 3\right\} $ และ $\alpha \in F$ และให้ $p,q\in P_3(F)$นั่นคือ $p=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ และ $q=b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$ กำหนดการกระทำ $p+q=(a_3+b_3)x^3+(a_2+b_2)x^2+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$ และ $\alpha A=\alpha a_3x^3+\alpha a_2x^2+\alpha a_1x+\alpha a_0$
2. มี $0=0x^3+0x^2+0x+0$ ซึ่ง $p+(-3-2x-x^2)=0$ จะได้ว่า $p=x^2+2x+3$
3. check คุณสมบัติ 10 ข้อ ใช่มั้ยครับ