|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#2
21 กุมภาพันธ์ 2016, 14:58
|
||||
|
||||
__________________
Be the change you want to see in the world. 
|
|
#4
27 กุมภาพันธ์ 2016, 12:09
|
||||
|
||||
|
ถ้าใช้วิธีเฉลยต่อก็จะได้ประมาณนี้มั้ง แต่รู้สึกว่าเฉลยบางทีก็ลัดไปครับ
 จาก $(a+2)(b+2)(c+2)=(\frac{a-c}{b-c}+1)(\frac{b-a}{c-a}+1)(\frac{c-b}{a-b}+1)=(1-\frac{c-a}{b-c})(1-\frac{a-b}{c-a})(1-\frac{b-c}{a-b})$ $=1-(\frac{c-a}{b-c}+\frac{a-b}{c-a}+\frac{b-c}{a-b})+(\frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{a-b})-1$ $=((1+a)+(1+b)+(1+c))+(a+b+c)$ $=-1$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#5
27 กุมภาพันธ์ 2016, 12:57
|
||||
|
||||
|
ดังนั้นมาคิด Sol ใหม่กันดีกว่า
 (ไม่ต้องสงสัยว่าทำไมยาว เขียนละเอียดมากกก) เราจะสามารถแบ่งได้เป็นสองกรณี $x^2+ax+b=(x+r)(x+\alpha)$ $x^2+bx+c=(x+r)(x+\beta)$ $x^2+cx+a=(x+r)(x+\gamma)$ โดยที่ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \alpha$ ดังนั้นจะได้ว่า $a=r+\alpha=r\gamma \quad (1)$ $b=r+\beta=r\alpha \quad (2)$ $c=r+\gamma=r\beta \quad (3)$ $(1)-(2); \quad \alpha-\beta=r(\beta-\gamma)$ $(2)-(3); \quad \beta-\gamma=r(\gamma-\alpha)$ $(3)-(1); \quad \gamma-\alpha=r(\alpha-\beta)$ นำสมการทั้งสามคูณกัน; จาก $\alpha,\beta,\gamma$ เป็นค่าแตกต่างกัน จะได้ $r=1$ นำไปแทนใน $(1),(2),(3)$ จะได้ $\gamma=1+\alpha=2+\beta=3+\gamma$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นกรณีนี้จึงไม่เกิดขึ้นครับ (ในเฉลยคือละกรณีนี้ทิ้งดื้อๆเลย) $x^2+ax+b=(x+\alpha)(x+\beta)$ $x^2+bx+c=(x+\beta)(x+\gamma)$ $x^2+cx+a=(x+\gamma)(x+\alpha)$ โดยที่ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \alpha$ ดังนั้นจะได้ว่า $a=\alpha+\beta=\gamma\alpha \quad (1)$ $b=\beta+\gamma=\alpha\beta \quad (2)$ $c=\gamma+\alpha=\beta\gamma \quad (3)$ $(2)-(1); \quad \gamma-\alpha=\alpha(\beta-\gamma)$ $(3)-(2); \quad \alpha-\beta=\beta(\gamma-\alpha)$ $(1)-(3); \quad \beta-\gamma=\gamma(\alpha-\beta)$ นำสมการทั้งสามคูณกัน; จาก $\alpha,\beta,\gamma$ เป็นค่าแตกต่างกัน จะได้ $\alpha\beta\gamma=1$ จัดรูป $(1),(2),(3)$ ใหม่ จะได้ $\beta=\gamma(\alpha-1)$ $\gamma=\alpha(\beta-1)$ $\alpha=\beta(\gamma-1)$ นำสมการทั้งสามคูณกัน (สามารถตรวจสอบได้ว่า $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$) จะได้ $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=1$ $-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+(\alpha+\beta+\gamma)=1 \quad (4)$ แต่จาก $(1)+(2)+(3); \quad 2(\alpha+\beta+\gamma)=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \quad (5)$ จาก $(4),(5)$ จะได้ $\alpha+\beta+\gamma=-1$ $\frac{(1)}{\alpha}+\frac{(2)}{\beta}+\frac{(3)}{\gamma}; \quad 3+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}=\alpha+\beta+\gamma$ $\therefore \alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha=\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}=-4 \quad (6)$ $\frac{(1)}{\gamma}+\frac{(2)}{\alpha}+\frac{(3)}{\beta};$ $\quad (\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma})+$ $(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha})$ $=\alpha+\beta+\gamma$ $\therefore \alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}=3 \quad (7)$ $(1)\beta^2+(2)\gamma^2+(3)\alpha^2; \quad (\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)+(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)=\alpha+\beta+\gamma$ $\therefore \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-4 \quad (8)$ จาก $(6),(7),(8); a^3+b^3+c^3=(\alpha+\beta)^3+(\beta+\gamma)^3+(\gamma+\alpha)^3$ $=2(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)+3(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)+3(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)$ $=2(-4)+3(3)+3(-4)=-11$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 27 กุมภาพันธ์ 2016 13:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
|
| |
|
|
