ข้อสอบ IWYMIC 2008

[ทิดมี สึกใหม่]

$n^2$-n+11= n(n-1)+11 โดยที่ ผลคูณของตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัว (ซ้ำกันก็ได้)
ให้หาค่า n ที่น้อยที่สุด
เราทราบว่า จำนวนเฉพาะไล่จากค่าน้อยไปมากดังนี้ 2 3 5 7 11 13 17 19 ......
(เนื่องจากโจทย์ต้องการหา n ค่าที่น้อย ดังนั้น จึงต้องทดสอบว่า จำนวนเฉพาะเหล่านี้ เริ่มจากค่าน้อยก่อน )


จากตาราง ปรากฏว่า $n^2$-n+11 ไม่สามารถหารด้วย 2, 3, 5 และ 7 ได้
แต่หารด้วย 11 ลงตัว

ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุด ควรจะเป็น $n^2$-n+11= n(n-1)+11 =$11^4$
ทดสอบ n(n-1)+11 =$11^4$ จะได้
n(n-1) =$11^4$-11 =2x5x7x11x19 (หา n ไม่ได้)
หาค่าถัดไป เราให้ค่าถัดไปคือ n(n-1)+11 =13x$11^3$ จะได้
n(n-1) =13x$11^3$-11 =2x2x3x11x131 =132x131

คำตอบ คือ n=132

[ทิดมี สึกใหม่]

เงื่อนไขที่โจทย์กำหนด
(a) เส้นต้องไม่ตัดกัน
(b) ผ่านช่องสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมทุกช่อง ช่องที่ไม่มีวงกลม เลือกผ่านเท่าที่จำเป็น
(c) วงกลมสีดำ ห้ามทะลุผ่าน ให้เลี้ยวออก(ซ้ายหรือขวา ดูรูปประกอบ)
(d) วงกลมสีขาว ให้ทะลุผ่าน ห้ามเลี้ยวออก(ซ้ายหรือขวา ดูรูปประกอบ)
เริ่มต้นพิจารณาช่องสี่เหลี่ยมที่มีวงกลม และกำหนดเส้นทางเข้า-ออก ครั้งเดียวให้ ที่คิดว่าเหมาะที่สุด ดังรูป

หลังจากนั้น เราทำการเชื่อมลูกศรที่จำเป็น และแทรกเส้นทางให้ถึงกัน (ลองผิดลองถูก ดังรูป)

หลังจากนั้น เราจะเห็นว่าเส้นลูกศรยังต่อไม่ถึงกัน ก็จัดการซะ ได้

ตอบ

[banker]

ข้อนี้ืทำยังไงครับ

$1+n+\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2 ^k$

หลังจากยำไปยำมาแล้วได้

$\frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +1 = 2^k \ \ \ $

แล้วจะต่อยังไงครับ

ถ้าต้องลองแทนค่า n ไปเรื่อยๆ แล้วมันจะสิ้นสุดตรงไหน เช่น

$ n = 1 \ \ \to \ k=1$

$ n = 2 \ \ \to \ k=2$

$ n = 3 \ \ \to \ k=3$

$ n = 4 \ \ \to \ $ไม่มีค่า $2^k$
.
.
$ n = 7 \ \ \to \ k=6$

[Amankris]

#18
ลอง $n=23$ ด้วยดีไหม

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ืทำยังไงครับ

$1+n+\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2 ^k$

หลังจากยำไปยำมาแล้วได้

$\frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +1 = 2^k \ \ \ $

แล้วจะต่อยังไงครับ

ถ้าต้องลองแทนค่า n ไปเรื่อยๆ แล้วมันจะสิ้นสุดตรงไหน เช่น

$ n = 1 \ \ \to \ k=1$

$ n = 2 \ \ \to \ k=2$

$ n = 3 \ \ \to \ k=3$

$ n = 4 \ \ \to \ $ไม่มีค่า $2^k$
.
.
$ n = 7 \ \ \to \ k=6$

ข้อนี้จบที่ n ตัวสุดท้ายที่
$ n = 23 \ \ \to \ k=11$
ดังนั้น ผลรวมค่า n = 1+2+3+7+23 =36 ตอบ

อีกวิธี
$\frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +1 = \frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +\frac{6}{6}=2^k \ \ \ $ ได้

$n^3$-$n^2$+6n+$n^2$-n+6=2x3x$2^k$

($n^3$-$n^2$+6n)+($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

n($n^2$-n+6)+($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

(n+1)($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

Case I ถ้า n+1 = $2^m$ ,m=จำนวนเต็มบวก -->n=$2^m$-1 ดังนั้น
$n^2$-n+6=$2^{2m}$-3x$2^m$+8
m>3 จะหาค่าไม่ได้ ดังนั้น
m=1 --> n=1
m=2 --> n=3
m=3 --> n=7
Case II ถ้า n+1 = 3x$2^m$ ,m=ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ -->n=3x$2^m$-1 ดังนั้น
$n^2$-n+6=9x$2^{2m}$-9x$2^m$+8
m>3 จะหาค่าไม่ได้ ดังนั้น
m=0 --> n=2 Ok
m=1 --> n=5 แทนค่าแล้ว (n+1)($n^2$-n+6) ไม่เท่ากับ 2x3x$2^k$
m=2 --> n=11 แทนค่าแล้ว (n+1)($n^2$-n+6) ไม่เท่ากับ 2x3x$2^k$
m=3 --> n=23 Ok

สรุป ผลรวมค่า n=1+2+3+7+11=36 ตอบ

[Onion]

ทำอย่างไรครับข้อนี้

เฉลยคำตอบ

141

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion

ทำอย่างไรครับข้อนี้

เฉลยคำตอบ

141

ตัวเลขบนวงกลมจะเป็น 0 x x 0 x x 0 x x ... โดย
x เป็นตัวประกอบของ 94
จำนวน 0 : x = 1 : 2
n > 3

[Onion]

ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion

ทำอย่างไรครับข้อนี้

เฉลยคำตอบ

141

น่าจะเป็นแบบนี้มากกว่าหรือเปล่าครับ
รูปทั่วไปของลำดับเป็นวงกลมที่ลำดับที่ n มีค่าเท่ากับค่าสมบูรณ์ของผลต่างของ2ลำดับถัดไปตามเข็มนาฬิกาคือ
$a,a+b,b,a,a+b,b,...,a,a+b,b$ โดยที่ $a,b$เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ$0$
แต่เงื่อนไขที่โจทย์บอกว่าผลรวมของลำดับทั้งหมดเท่ากับ $94$ จะเป็นตัวกำหนดว่า $a,b$มีค่าได้เท่าใดบ้าง
สมมติลำดับ$a,a+b,b,a,a+b,b,...,a,a+b,b$ มีจำนวน n พจน์ ซึ่งลำดับดังกล่าวจะซ้ำกันทุกๆ3ลำดับคือ $a,a+b,b$
$n=3k,k=1,2,3,....$
ผลรวมของมันจะเท่ากับ ...........
$[a+(a+b)+b](k)=94$
$(2a+2b)(k)=94$
$(a+b)(k)=47$
$\therefore k=47,a+b=1$
..............................................................................................
$a,b$เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ$0$ และ $a+b=1$แสดงว่า $a=1,b=0$ หรือ $a=0,b=1$
และ $k=47$ จาก $n=3k$จะได้ $n=(3)(47)=141$
และสรุปว่าเท่าที่ได้จากสมการลำดับเป็นไปได้อน่างน้อยก็2แบบแล้วคือ
$0,1,1,0,1,1,...,0,1,1$ จำนวน 141 พจน์ หรือ
$1,1,0,1,1,0,...,1,1,0$ จำนวน 141 พจน์ ซึ่งเมื่อนำทั้ง 2 แบบมาเรียงแบบวงกลมก็คือลำดับเดียวกันนั่นเอง
สรุปก็คือ ลำดับแบบวงกลมตามโจทย์น่าจะมีได้แบบเดียวนะครับ และมีจำนวน $141$ พจน์

[Onion]

ขอบคุณครับ