ช่วยหน่อยครับ

[winlose]

ให้ $a,b,c\in R^+$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$
ช่วยหน่อยนะครับ

[warutT]

proof
$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$
$=\frac{1}{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}}$
จาก AM-GM Inequality
จะได้ $\frac{1}{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$
เนื่องจากอสมการมีความสมมาตรในตัวแปร
กำหนดให้ $a \geq b \geq c$
จะได้ $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$

[dektep]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$

[warutT]

อีกวิธีครับ อธิบายของคุณ dektep ครับ
จาก $(a-b)^2 \geq 0$
$a^2-2ab+b^2 \geq 0$
$a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$
$(a+b)^2 \geq 4ab$
$\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{a+b}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{a+b}$
ในทำนองเดียวกันจะได้
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{b+c}$
$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{4}{c+a}$
นำสามอสมการมาบวกกัน
$$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geqslant \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$

[winlose]

ขอบคุณ คุณwarutTและคุณdektepมากๆครับ