ข้อสอบTUGMOs ครั้งที่ 5

[banker]

โจทย์คณิตศาสตร์ > ม.ต้น > TUGMOs > ครั้งที่ 5 > รอบที่ 1 > ตอนที่ 1
สอบวันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 09.00-11.40 น.


1 ในงานเลี้ยงงานหนึ่ง แฝดห้า ชื่อว่า กก กน นก นน และกนก ได้จัดการแสดง โดยทุกคนยืนเรียงกันเป็นแถวหน้ากระดาน แต่ละคนถือลูกบอลคนละลูก ซึ่งมีลูกบอลสีแดง สีแสด สีเหลือง สีฟ้า และสีเขียว อย่างละหนึ่งลูก ถ้าข้อมูลต่อไปนี้เป็นจริง

1. เริ่มต้น นกถือลูกบอลสีฟ้า คนที่อยู่ซ้ายสุดถือลูกบอลสีเขียว และกนยืนอยู่ตรงกลาง
2. จาก นั้นคนที่ถือลูกบอลสีเหลืองสลับลูกบอลกับคนที่อยู่ขวาสุด จะได้ว่าคนที่ถือลูกบอลสีแดงยืนติดกับคนที่ถือลูกบอลสีแสด กกยืนติดกับนก คนที่ถือลูกบอลสีฟ้ายืนติดกับนน กกและกนกยืนติดกับคนที่ถือลูกบอลสีแดง


เริ่มต้น กนกถือลูกบอลสีอะไร

1. สีแดง
2. สีแสด
3. สีเหลือง
4. สีเขียว

2 สำหรับจำนวนจริง a, b กำหนดให้ $a \otimes b = \frac{2b^2 + 2ab + a}{2(b+1)^2}$

จงหาค่าของ 1 $\otimes (2 \otimes (3 \otimes \ldots \otimes (2007 \otimes 2008) \ldots ))$

1. $\frac{13}{9}$
2. $\frac{13}{18}$
3. $\frac{5}{4}$
4. $\frac{5}{8}$

3 นายกรีนกำลังขับรถฝ่าสายฝนเพื่อพาเพื่อนสนิทคนหนึ่งไปซื้อกระเป๋าด้วยกัน บังเอิญเห็นที่ปัดน้ำฝนหน้ารถกำลังปัดน้ำฝนปรากฏดังรูป ที่ปัดน้ำฝนทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และปลายของที่ปัดน้ำฝนอันขวาอยู่ตรงกับจุดหมุนของอันซ้ายพอดี ถ้าที่ปัดน้ำฝนยาวอันละ 6 หน่วย จงหาว่าที่ปัดน้ำฝนทั้งสองอันสามารถปัดน้ำฝนได้เป็นพื้นที่กี่ตารางหน่วย



1. $15 \pi - 93$
2. $15 \pi + 93$
3. $21 \pi - 93$
4. $21 \pi + 93$

4 จุดยอดของพาราโบลาในข้อใดอยู่สูงที่สุด

1. $2x^2+4x+3=\frac{y}{\sqrt{3}}$
2. $\frac{1}{4}x^2-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{5}=\sqrt{2}x+y-4$
3. $12x^2-4x+y=\sqrt{2}$
4. $x+\frac{3}{4} \sqrt{\pi} = \frac{y-x^2}{\sqrt{\pi}}$

5 นิกสั่งให้ป๊อปเลือกจำนวนจาก 1 ถึง 2550 มากี่จำนวนก็ได้ แล้วเขียนใส่กระดาษ โดยมีเงื่อนไขว่า หากนิกเลือกจำนวนในกระดาษมา 3 จำนวน หาผลรวมแล้วปรากฏว่าหารด้วย 7 ลงตัว ป๊อปจะถูกลงโทษ จงหาว่า ป๊อปจะเขียนจำนวนใส่กระดาษได้มากที่สุดกี่จำนวน จึงจะไม่ถูกลงโทษอย่างแน่นอน

1. 729 จำนวน
2. 730 จำนวน
3. 731 จำนวน
4. 732 จำนวน

6 ให้ O เป็นจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ที่ทำให้ $A \hat OB=150^\circ $และ $AO = BO$

ให้ AB ยาว $2\sqrt[4]{3} $ หน่วย สามเหลี่ยม OCD มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

1. 3
2. 23
3. 6
4. 2

7 จากรูป มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 4 x 6 หน่วย ภายในบรรจุครึ่งวงกลม 4 รูป ทุกรูปมีรัศมี 2 หน่วย ส่วนที่แรเงามีพื้นที่กี่ตารางหน่วย



1. $\frac{24+4 \pi - 6\sqrt{3}}{3}$
2. $\frac{24-4 \pi + 6\sqrt{3}}{3}$
3. $\frac{24-4 \pi - 6\sqrt{3}}{3}$
4. $\frac{24+4 \pi + 6\sqrt{3}}{3}$

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 ตอนที่ 2
สอบวันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 09.00-11.40 น.


1 ในสามเหลี่ยมใดๆ ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง

ก. เส้นมัธยฐานที่ลากไปยังด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมจะเป็นเส้นมัธยฐานที่สั้นที่สุดเสมอ
ข. ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งหมดรวมกันจะน้อยกว่าความยาวด้านของสามเหลี่ยมรวมกันเสมอ
ค. ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งหมดรวมกันจะมากกว่าความยาวของส่วนสูงทั้งหมดรวมกัน
2 ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง

ก. ๕๕๗,๑๒๙ + MDCLIX + + = 559,128

ข. ในบรรดาข้อความ 4 ข้อต่อไปนี้ มีข้อความที่ถูกต้อง 2 ข้อ

1. สนามหญ้าขนาด 10 เอเคอร์ มีพื้นที่มากกว่าสวนดอกไม้ขนาด 20 ไร่
2. หญิงสาวน้ำหนัก 50 กิโลกรัม มีน้ำหนักมากกว่าเค้กยักษ์ขนาด 110 ปอนด์
3. แม่น้ำยาว 1 โยชน์ มีความยาวมากกว่ากว่าถนนยาว 1 ไมล์
4. น้ำมันพืช 1 ถ้วยตวง มีปริมาตรมากกว่าซีอิ๊วขาว 15 ช้อนโต๊ะ


ค. ถ้าวันที่ 3 ธันวาคม พ.ศ. 2550 เป็นวันจันทร์ แล้ววันที่ 3 มกราคม พ.ศ. 2950 เป็นวันพฤหัสบดี
3 ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง

ก. เลขโดดในหลักหน่วยของ $7^{2007} + 3^{2007}$ คือเลข 0

ข. เลขโดดในหลักสิบของ $7^{2007} + 3^{2007}$ คือเลข 3

ค. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะ c และ d เป็นจำนวนอตรรกยะ

จะได้ว่า ในบรรดาข้อความ 9 ข้อต่อไปนี้ มีข้อความที่ถูกต้อง 3 ข้อ

1. a+b และ a-b เป็นจำนวนตรรกยะ
2. a+c และ a-c เป็นจำนวนอตรรกยะ
3. c+d และ c-d เป็นจำนวนอตรรกยะ
4. ab เป็นจำนวนตรรกยะ
5. ac เป็นจำนวนอตรรกยะ
6. cd เป็นจำนวนอตรรกยะ
7. $\frac{a}{b}$ เป็นจำนวนตรรกยะ
8. $\frac{a}{c}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
9. $\frac{c}{d}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 ตอนที่ 3
วันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 09.00-11.40 น.


1 กำหนดให้ x แทนจำนวนข้อความที่ถูกต้อง จากข้อความต่อไปนี้

1. ในระบบจำนวนจริง 1 + 1 = 2
2. ผลบวกของจำนวนเฉพาะบวกตั้งแต่ 1 ถึง 2551 มีค่าเป็นจำนวนคี่
3. เซ ปโทมิโน (septomino) เป็นรูปที่ได้จากการต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวน 7 รูป โดยนำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาประกบกันเป็นคู่ๆ จนได้รูปเหลี่ยมที่ต่อเนื่องกันดังตัวอย่าง หากนับเซปโทมิโนสองรูปที่พลิกหรือหมุนแล้วเหมือนกัน ว่าเป็นเซปโทมิโนเพียงรูปเดียว จะได้ว่ามีเซปโทมิโนทั้งหมด 108 แบบ

4. ใน ระบบเงินตราของดาว TUGMOs ไม่มีธนบัตร มีเพียงเหรียญ 42 อุ๊, 27 อุ๊, 11 อุ๊, 4 อุ๊ และ 1 อุ๊ เท่านั้น เหรียญทุกเหรียญหนัก 1 เอ๊ะ เท่ากัน นายพชรพลซึ่งอยู่บนดาว TUGMOs ต้องการซื้อคอมพิวเตอร์รุ่น ``จตุคอร์ แรมเทพ (Quad-core Super-RAM)'' เขาไม่ทราบราคา แต่มั่นใจว่าราคาไม่เกิน 80 อุ๊ อย่างแน่นอน เขาเป็นคนที่ไม่ชอบพกเงินติดตัวมากมาย เขาจึงตั้งใจจะพกเงินไปและพกเงินทอนกลับให้มีน้ำหนักรวมน้อยที่สุด นายพชรพลจึงนั่งคำนวณดู พบว่าเขาจะต้องพกเงินไปและพกเงินทอนกลับน้ำหนักรวมกันอย่างมากที่สุด 8 เอ๊ะ (เขาต้องนำเงินทอนทั้งหมดกลับ)
5. ถ้ากระดาษแผ่นหนึ่งพิมพ์ตัวเลข ได้ 1000 ตัว และกระดาษหนึ่งรีมมี 1000 แผ่น จะต้องใช้กระดาษ 10000 รีมในการพิมพ์ค่า 101010 เป็นตัวเลขในฐานสิบ
6. จำนวนที่มากที่สุดที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์และเลขโดดแต่ละตัวแตกต่างกัน คือ 9814072356
7. ในวันหนึ่งๆ หากนำเลขโดดที่ปรากฏบนนาฬิกาดิจิทัลของทุกๆ นาทีมาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคู่
8. รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีพิกัดของจุดยอดเป็นจำนวนเต็ม จะมีแกนสมมาตรไม่เกิน 4 แกน
9. ตามพระ ราชบัญญัติว่าด้วยการกระทำความผิดเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ พ.ศ. 2550 ผู้ใดส่งข้อมูลคอมพิวเตอร์หรือจดหมายอิเล็กทรอนิกส์แก่บุคคลอื่น โดยปกปิดหรือปลอมแปลงแหล่งที่มาของการส่งข้อมูลดังกล่าว อันเป็นการรบกวนการใช้ระบบคอมพิวเตอร์ของผู้อื่นโดยปกติสุข ต้องระวางโทษปรับไม่เกินห้าหมื่นบาท
10. การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก ครั้งที่ 49 จะจัดขึ้นที่เมืองเกรเนดา ประเทศสเปน ในปี พ.ศ. 2551 และการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกครั้งที่ 50 จะจัดขึ้นที่เมืองเบรเมน ประเทศเยอรมนี ในปี พ.ศ. 2552



จงหาค่าของ $\frac{8(16x+185)+41(3x+19)}{\frac{1}{8}\sqrt{(x+13)^2-8(x+11)}}$


2 ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง a + b + c = 0 และ $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$

จงหาค่าของ $\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}$


3 ข้อสอบคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นข้อสอบแบบถูกผิด 15 ข้อ โดยแบ่งเป็น ข้อละ 1 คะแนน จำนวน 10 ข้อ และข้อละ 2 คะแนน จำนวน 5 ข้อ ถ้าตอบถูกจะได้คะแนนตามที่กำหนดไว้ ถ้าตอบผิดจะได้ศูนย์ นายเล็กต้องการท้าทายความสามารถของตัวเองโดยทำให้ได้ 6 คะแนนพอดี โดยมีข้อแม้ว่าจะต้องทำข้อสอบทุกข้อ จงหาว่าเขาจะสามารถทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี

4 ความยาวของส่วนสูงทั้งสามของสามเหลี่ยม A เป็น 3, 4 และ 6 หน่วย ตามลำดับ
ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยม B เป็น 4, 6 และ 8 หน่วย ตามลำดับ
จงหาผลต่างของพื้นที่สามเหลี่ยม A และ B


5 ทรงเรขาคณิตสามมิติรูปหนึ่งประกอบขึ้นจากลูกบาศก์หน่วย และเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติแสดงภาพที่ได้จากการมองทางด้านบนพร้อมทั้งตัวเลข แสดงจำนวนลูกบาศก์ได้ดังรูป ทรงเรขาคณิตสามมิติรูปนี้มีพื้นที่ผิวกี่ตารางหน่วย

6 กำหนดลำดับดังนี้

1 , -2 , -1 , 4 , 17 , 46 ,...

จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับ


7 ให้ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ที่ ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 1

ให้ x เป็น ห.ร.ม. ของ a+b และ a-b
y เป็น ห.ร.ม. ของ a+2b และ a-2b

ถ้า a > 2b แล้ว จงหาค่าสูงสุดของ xy


8 หลังการสอบปลายภาคที่มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน สิ้นสุดลง นักเรียนห้อง ม.3/2 จำนวน 10 คน ได้คะแนนเป็นจำนวนเต็ม และไม่มีใครได้คะแนนต่ำกว่า 60 คะแนน แต่อาจารย์ทำคะแนนของนักเรียนหายไป 3 คน โดยนักเรียน 7 คนที่เหลือได้คะแนน 68, 76, 78, 81, 87, 87 และ 92 คะแนน ถ้าทราบว่าคะแนนของนักเรียนทั้ง 10 คนนี้ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับฐานนิยม จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง 10 คน
9 จงหาผลบวกของกำลังสองของคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของ $4x^2-40 \lfloor x \rfloor +51=0 $โดยที่ $\lfloor x \rfloor$ คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x


10 จากรูป $\square ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีอัตราส่วนความยาวด้าน AB : BC = 3 : 2 ถ้าอัตราส่วนพื้นที่ $S_2 : S_3 = 3 : 4 $ และอัตราส่วนพื้นที่ $S_2 : S_4 = 2 : 3$ และ $S_1$ มีพื้นที่ 420 ตารางหน่วย แล้ว $\square ABCD$ มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

[banker]

11 ลูกเต๋าลูกหนึ่งมีผลรวมแต้มของสองด้านที่อยู่ตรงข้ามกันเท่ากันทุกคู่ กำหนดให้แต้มบนด้านที่อยู่รอบมุมของลูกเต๋ามุมหนึ่งเป็น 36, 52 และ 56 และแต้มบนด้านที่เหลือเป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน 1,000 ทั้งสิ้น จงหาผลรวมที่มีค่ามากที่สุดของแต้มบน 3 ด้านที่เหลือ


12 นายธนะต้องการเล่นเกมคอมพิวเตอร์ทายเลขปริศนา ซึ่งเป็นเลข 4 หลัก ประกอบด้วยเลขโดด 0-9 โดยเลข 0 ไม่อยู่หน้าสุด และไม่มีเลขโดดในหลักใดซ้ำกันเลย ในการทาย คอมพิวเตอร์จะแสดงผลลัพธ์ตามเงื่อนไขต่อไปนี้

1. คอมพิวเตอร์ จะแสดงผลลัพธ์เป็น A ถ้าเลขโดดของตัวเลขที่ทายตรงกันกับเลขโดดในตัวเลขปริศนา และอยู่ในหลักที่ถูกต้อง ตามจำนวนเลขโดดที่ถูกตามเงื่อนไข
2. คอมพิวเตอร์ จะแสดงผลลัพธ์เป็น B ถ้าเลขโดดของตัวเลขที่ทายตรงกันกับเลขโดดในตัวเลขปริศนา แต่ไม่ถูกหลัก ตามจำนวนเลขโดดที่ถูกตามเงื่อนไข


ถ้านายธนะทายไป 3 ครั้ง ได้ผลลัพธ์ออกมาดังนี้
1234 AA
5678 B
1594 AAB

จงหาผลรวมของเลขปริศนาที่เป็นไปได้ทั้งหมด



13 ให้ p, q เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี ห.ร.ม.เป็น 1 และ

$\frac{p}{q}=\frac{543}{2549}+\frac{543 \times 542}{2549 \times 2548}+ \ldots +\frac{543 \times 542 \times \ldots \times 1}{2549 \times 2548 \times \ldots \times 2007}$

จงหาค่าของ p+q


14 ในแม่น้ำที่มีกระแสน้ำคงที่ เรือ ก จะแล่นทวนน้ำด้วยอัตราเร็ว 3 เมตรต่อวินาที และแล่นตามน้ำด้วยอัตราเร็ว 5 เมตรต่อวินาที ส่วนเรือ ข แล่นตามน้ำด้วยอัตราเร็ว 7 เมตรต่อวินาที ในวันลอยกระทง เรือ ก และเรือ ข หันหัวเรือเข้าหากัน โดยเรือ ก แล่นตามน้ำ และเรือ ข แล่นทวนน้ำ เรือ ก ยาว 9 เมตร และเรือ ข ยาว 5 เมตร มีเด็กชายตั้ม และรถไฟ ต อยู่ที่ท้ายเรือ ก และมีเด็กหญิงนิว และรถไฟ น อยู่ที่ท้ายเรือ ข รถไฟของเด็กทั้งสอง เมื่อปล่อย จะแล่นด้วยความเร็ว 0.5 เมตรต่อวินาที (เทียบกับพื้นนิ่ง) ไปทางหัวเรือแต่ละลำ เรือทั้งสองเริ่มแล่นพร้อมๆ กับที่เด็กทั้งสองปล่อยรถไฟของตน เมื่อเรือทั้งสองลำเริ่มสวนกัน หมวกที่เด็กหญิงนิวสวมอยู่ก็หล่นลงน้ำในแนวดิ่งทันที เด็กหญิงนิวรู้สึกตัวเมื่อเรือทั้งสองลำสวนกันพ้นพอดี จึงแล่นเรือถอยหลัง (ไม่หันหัวเรือ) ไปเก็บหมวก ทันทีที่เด็กหญิงนิวซึ่งยังอยู่ที่ท้ายเรือเก็บหมวกได้แล้วนั้น เด็กหญิงนิวก็แล่นเรือกลับไปทางเดิมทันที ถ้าเรือทั้งสองลำสวนกันพ้นพอดีอีกครั้งหลังจากที่รถไฟของเด็กทั้งสองสวนกัน พ้นพอดีครั้งแรกเป็นเวลา 1.9 วินาที จงหาว่า ก่อนออกเรือ หัวเรือของเรือทั้งสองลำอยู่ห่างกันกี่เมตร



15 กำหนดให้ a, b, c, d และ k เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ

$k = \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \ldots + \sqrt{1+\frac{1}{24^2}+\frac{1}{25^2}} \right) + \frac{1}{25}$


$a = \sqrt{|k| - \sqrt{2k-a+1}}$

$b = \sqrt{|k| + \sqrt{2k-b+1}}$

$c = \sqrt{|k| - \sqrt{2k+c+1}}$

$d = \sqrt{|k| + \sqrt{2k+d+1}}$

จงหาค่าของ abcd



16 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนจริงใดๆ

จงหาค่าที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{x^2}{(3x-2y-z)^2}+\frac{y^2}{(3y-2z-x)^2}+\frac{z^2}{(3z-2x-y)^2}$


17 ในรูปสี่เหลี่ยม ABCD กำหนดให้ $B \hat AC = C \hat AD = 25^\circ, A \hat BD = 125^\circ$ และ BC = CD

ให้ E เป็นจุดภายในด้าน AD ที่ทำให้ BC = DE

จงหาขนาดของ $A \hat CE$

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 ตอนที่ 4
วันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 09.00-11.40 น.


1 หมากล้อม หรือ โกะ ถือกำเนิดขึ้นในประเทศจีนมาแล้วกว่า 3,000 - 4,000 ปี ในอดีตเป็นที่นิยมเล่นในหมู่ปัญญาชนชั้นสูงและขุนนางผู้บริหารประเทศ และมีความสำคัญจนได้รับการจัดให้เป็น 1 ใน 4 ศิลปะประจำชาติจีน (หมากล้อม ดนตรี กลอน และภาพ) ต่อมาหมากล้อมจึงเผยแพร่เข้าสู่ประเทศญี่ปุ่นและเกาหลี โกะรุ่งเรืองอย่างมากในญี่ปุ่น สมัยโชกุนโตกุกาว่า ได้สนับสนุนให้ทหารเล่นโกะ เปลี่ยนวิธีการรบด้วยกำลังเป็นการรบด้วยปัญญา และยังสนับสนุนให้โกะแพร่หลายมากยิ่งขึ้นอีก โดยโชกุนโตกุกาว่าได้ตั้งสำนักโกะขึ้น 4 สำนัก เพื่อคัดเลือกผู้เป็นยอดฝีมือโกะของญี่ปุ่น โดยจัดให้สำนักทั้ง 4 คือ ฮงนินโบ, อิโนอูเอะ, ยาสุอิ และ ฮายาชิ ส่งตัวแทนมาประลองฝีมือเพื่อชิงตำแหน่ง ``เมย์จิน'' จากการส่งเสริมโกะของญี่ปุ่น ทำให้อีกประมาณ 100 ปีต่อมา มาตรฐานฝีมือนักเล่นโกะของญี่ปุ่นก็ก้าวนำจีน ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของโกะรวมทั้งประเทศเกาหลีไปไกลแล้ว ปัจจุบันทั่วโลกเล่นโกะกันอย่างแพร่หลาย โกะเรียกเป็นสากลว่า ``Go'' ปัจจุบัน โกะแพร่หลายในกว่า 50 ประเทศ มีการก่อตั้งสมาพันธ์หมากล้อมนานาชาติขึ้นในปี พ.ศ. 2522 นอกจากนี้แล้ว โรงเรียนและมหาวิทยาลัยหลายแห่งยังมีการบรรจุวิชาโกะในหลักสูตร และมีการศึกษาปรัชญาจากโกะอีกด้วย 1

โดยปกติแล้ว การเล่นโกะจะใช้หมากดำ หมากขาว และกระดานขนาด 19 x 19 เส้น เนื่องจากกระดานโกะมีขนาดใหญ่กว่ากระดานหมากรุกหลายเท่าตัว การเล่นโกะจึงเปรียบเสมือนการทำสงครามที่มีหลายสนามรบ การชนะในสนามรบเดียวนั้นไม่อาจทำให้ชนะทั้งสงครามได้ ดังนั้นจึงต้องใช้ทรัพยากรที่มีอย่างคุ้มค่า พิจารณาถึงผลได้ผลเสียอย่างถี่ถ้วน เน้นการสร้างตนเองให้แข็งแกร่ง ไม่ใช่การทำลายคู่ต่อสู้

นาย อ และนางสาว ป หลงใหลการเล่นโกะเป็นชีวิตจิตใจ และมักจะเล่นโกะด้วยกันทุกวัน ทั้งสองคนชอบหาบริเวณที่สงบและเป็นส่วนตัวสำหรับเล่นโกะด้วยกันสองต่อสอง แต่มักจะมีผู้สอดรู้สอดเห็น เข้าไปสังเกตการณ์เป็นประจำ สร้างความเบื่อหน่ายเป็นอย่างมาก ทั้งสองคนจึงได้คิดรหัสลับจากหมากโกะขึ้น เพื่อใช้ในการพูดคุยและการนัดหมายที่เป็นความลับระหว่างกัน

ด้วยเหตุผลอะไรสักอย่าง คุณจำเป็นจะต้องทราบว่า วันนี้ ทั้งสองคนไปเล่นโกะที่ไหน คุณรู้เพียงว่าพวกเขาไปที่งานโชว์งานหนึ่งเท่านั้น โชคดีที่คุณจำหมากโกะที่ทั้งสองคนสื่อสารกันในวันนี้ได้ รวมไปถึงแอบจดรหัสที่เคยใช้มาในวันก่อนๆ อีกด้วย

กรอบทางด้านขวา สามกรอบบนแสดงกระดาษจดรหัสของวันก่อนๆ โดยบรรทัดสุดท้ายเป็นคำเฉลยรหัส จงถอดรหัสโจทย์ที่กำหนดให้ พร้อมทั้งอธิบายวิธีการเข้ารหัสและถอดรหัสมาพอสังเขป

1 สุรพล อินทรเทศ

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 2 Need for speed quiz
วันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 14.45-16.15 น.


1 ให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะบวกที่ทำให้ p + q และ p + 7q เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ จงหาค่าของ pq ที่เป็นไปได้ทั้งหมด


2 ให้ P และ Q เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน ทั้ง P และ Q ต่างก็มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก 6 ตัว และมี 851 เป็นตัวประกอบ จงหาค่าของ |P-Q| ที่เป็นไปได้ทั้งหมด


3 กำหนดให้ a, b และ c เป็นรากของสมการ $3x^3-4x^2+5x-1=0$ จงหาค่าของ $a^4 + b^4 + c^4$


4 กำหนดให้ x, y, z เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $2x+3y+z=13$ และ $4x^2+9y^2+z^2-2x+15y+3z=82 $ จงหาค่าของ $xy+yz+zx$


5 กำหนดสี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 2 หน่วย
$O_1$ เป็นครึ่งวงกลมที่มี CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและอยู่ภายในสี่เหลี่ยม ABCD
$O_2$ เป็นวงกลมที่สัมผัสด้าน AB, AD และสัมผัสครึ่งวงกลม $O_1$
จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $O_2$


6 ทรงกรวยกลวงตรงอันหนึ่งถูกตัดแบ่งในแนวขนานกับฐานวงกลม ทำให้สองส่วนใหม่มีความจุเท่ากัน จงหาว่าส่วนที่มีพื้นที่ผิวมากกว่ามีพื้นที่ผิวเป็นกี่เท่าของส่วนที่มี พื้นที่ผิวน้อยกว่า (พิจารณาเฉพาะพื้นที่ผิวภายนอก)


7 นายเบนซ์กำลังฝึกซ้อมบาสเกตบอล โดยการยิงลูกในระยะใกล้ลง 1 ครั้ง จะได้ 2 คะแนน และการยิงลูกในระยะไกลลง 1 ครั้ง จะได้ 3 คะแนน ถ้าเขายิงลูกลงอย่างต่อเนื่อง จงหาว่ามีกี่วิธีที่เขาจะสามารถทำคะแนนได้ 24 คะแนน (ลำดับมีความสำคัญ)


8 จากรูป มีสี่เหลี่ยมมุมฉากกี่รูป (สี่เหลี่ยมย่อยในรูปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 2 Balance quiz
วันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 14.45-16.15 น.


1 ท่อน้ำ AB มีความยาว 100 เซนติเมตร มีมดตัวหนึ่งยืนอยู่กลางท่อ ในเวลาเริ่มต้นน้ำไหลเข้าท่อจากด้านปลายทั้งสองข้างด้วยอัตราเร็ว 5 เซนติเมตรต่อวินาที ในขณะเดียวกันมดก็เริ่มเดินไปทางปลายท่อด้าน B ด้วยอัตราเร็ว 4 เซนติเมตรต่อวินาที เมื่อไรก็ตามที่มดเดินไปเจอน้ำ มันจะหันหลังกลับแล้วเดินไปทางปลายท่ออีกด้านโดยมีอัตราเร็ว 4 เซนติเมตรต่อวินาทีเท่าเดิม ถ้าคิดว่าเวลามดไม่เสียเวลาในการหันหลังกลับเลย จงหาว่ามันจะเดินได้ระยะทางกี่เซนติเมตร ก่อนที่จะถูกน้ำท่วมตาย


2 ให้ x เป็นจำนวนซึ่งสอดคล้องกับ $x-\frac{1}{4-x}=0$ จงหาค่าของ $x^6+(4-x)^6$


3 จากรูป วงกลม $O_1$ ตัดกับวงกลม $O_2$ ที่จุด X และจุด Y ให้จุด A, C อยู่บนวงกลม $O_1$ และจุด B, D อยู่บนวงกลม $O_2$ ดังรูป โดยที่จุด A, X, B อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และจุด C, Y, D ก็อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ต่อ $\overline{AB}$ ไปตัดกับ $\overline{CD}$ ที่จุด P กำหนด PB = 21 หน่วย, PA = 56 หน่วย และ CD = 45 หน่วย

จงหาความยาว PD

4 ในการแข่งขันฟุตบอลรอบ 8 ทีมสุดท้าย มีสโมสรฟุตบอลจากประเทศอังกฤษที่เข้ารอบมา 4 ทีม ถ้าการแข่งขันในรอบ 8 ทีมสุดท้าย จะแข่งขันกันเป็นคู่ๆ โดยการจับสลาก จงหาความน่าจะเป็นที่สโมสรฟุตบอลจากประเทศอังกฤษจะไม่แข่งขันกันเอง


5 นาฬิกาเรือนหนึ่ง เกิดความผิดพลาดในกลไก ทำให้เข็มวินาทีหมุนไม่ครบ 60 ช่องใน 1 นาที แต่เข็มนาทีและชั่วโมงเดินตรงตามเวลาจริง ณ เวลา 12.00 น. เข็มทั้งสามซ้อนทับกันสนิท แต่ก่อนเวลา 12.30 น. มีเวลาหนึ่งที่เข็มทั้งสามทำมุมเท่ากันซึ่งกันและกัน จงหาว่าเข็มวินาทีเดินคลาดเคลื่อนกี่ช่องใน 1 นาที ให้ตอบค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้


6 กำหนดสมการ $2^{2x-1}-k+\frac{1}{2}=3k \cdot 2^{x-2}$ เมื่อ x, k เป็นจำนวนจริง จงหาผลรวมของค่าคงที่ k ทั้งหมด ที่ทำให้สมการมีรากเดียว


7 สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีพื้นที่ 64 ตารางหน่วย พิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอด 2 จุด อยู่บนด้านด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม และอีก 2 จุด อยู่บนด้านอีก 2 ด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม ด้านละจุด จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว จะมีพื้นที่มากที่สุดเท่าไร


8 โต๊ะสนุกเกอร์มีหลุมอยู่ 6 หลุมรอบโต๊ะ บนโต๊ะมีลูกสนุกเกอร์สีเหลือง สีเขียว สีน้ำตาล สีน้ำเงิน สีชมพู และสีดำ อย่างละ 1 ลูก กำหนดให้แทงลูกเหล่านี้ลงหลุมทีละลูกตามลำดับ ปรากฏว่าลูกลงหลุมทุกลูก และความน่าจะเป็นที่ลูกจะลงแต่ละหลุมมีเท่าๆ กัน ความน่าจะเป็นที่จะแทงลูกลงหลุมมุมบนขวาอย่างน้อย 3 ลูก โดยมีลูกสีเหลืองอยู่ด้วย เป็นเท่าไร

[banker]

TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 2 TUGMOs the champion
วันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550 เวลา 14.45-16.15 น.


1 เลขคณิต 80 คะแนน

A, B และ C วิ่งแข่งกันในสนามรูปวงกลมแห่งหนึ่ง 3 รอบ ในรอบแรก A ต่อให้ B วิ่งไปก่อน 40 เมตร และต่อให้ C วิ่งไปก่อน 4 วินาที ปรากฏว่าทั้ง 3 คน วิ่งครบรอบพร้อมกันพอดี ในรอบที่สอง B วิ่งเร็วกว่าในรอบแรก 20% และ C วิ่งเร็วกว่าในรอบแรก 25% ทำให้ทั้ง 3 คนวิ่งครบรอบพร้อมกันอีกครั้ง ในรอบสุดท้าย A, B และ C วิ่งได้ 80%, 80% และ 90% ของความเร็วในรอบแรก ถามว่า เมื่อคนที่ถึงเส้นชัยคนแรกถึงเส้นชัย ระยะทางที่ห่างจากเส้นชัยของอีก 2 คนที่เหลือ รวมกันได้กี่เมตร

2 เลขคณิต 100 คะแนน

ณ สนามหญ้าที่กว้างใหญ่แห่งหนึ่ง นายป๊อบนำวัวของเขาไปผูกไว้กับกำแพงกลางสนาม กำหนดว่ากำแพงมีความยาวน้อยกว่าเชือกที่ใช้ผูก เมื่อเวลาผ่านไป นายป๊อบกลับมาดูพบว่า วัวของเขาได้กินหญ้าไปได้มากที่สุดเท่าที่มันจะกินได้ คือ$ \frac{211 \pi}{2}$ ตารางหน่วย ถ้าเชือกมีความยาวเป็นจำนวนนับ และจุดที่ผูกเชือกแบ่งความยาวกำแพงออกเป็นจำนวนนับทั้งคู่ จงหาว่ากำแพงถูกแบ่งเป็นอัตราส่วนเท่าไร (ตอบแบบ สั้น : ยาว)



3 เลขคณิต 130 คะแนน

สุดหล่อสามารถทำงาน A เสร็จใน 18 วัน, งาน B เสร็จใน 19 วัน และงาน C เสร็จใน 24 วัน แสนดีสามารถทำงาน A เสร็จใน 21 วัน, งาน B เสร็จใน 21 วัน และงาน C เสร็จใน 27 วัน มีคนจ้างให้สุดหล่อและแสนดีร่วมมือกันทำโครงงาน X ที่ประกอบด้วยงาน A 1 ชิ้น และงาน C 1 ชิ้น หลังจากทำเสร็จแล้ว ก็มีคนจ้างให้ทั้งสองคนทำโครงงาน Y ที่ประกอบด้วยงาน B 1 ชิ้น และงาน C 1 ชิ้น ถ้าทั้ง 2 คน สามารถทำโครงงาน X และ Y ให้เสร็จโดยใช้เวลาน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ แล้วทั้ง 2 คนใช้เวลาทำโครงงาน Y นานกว่าโครงงาน X กี่วัน (ตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ)


4 พีชคณิต 80 คะแนน

ให้ x และ y สอดคล้องกับ $\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}$ จงหาค่าของ $\frac{x^4+3x^3y-2x^2y^2+3x^3+y^4}{x^4+x^2y^2+y^4}$


5 พีชคณิต 100 คะแนน

จงหาสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^{48}$ ในพหุนาม $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) \ldots (x + 50)$


6 พีชคณิต 130 คะแนน

ให้ f(n) เป็นพหุนามในรูป $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับหรือ 0 และ $a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n$ เป็นจำนวนจริง

กำหนด $\displaystyle \sum_{p}^{q}f(x) = f(p) + f(p+1) + f(p+2) + \ldots + f(q)$ โดยที่ $p \leq q$

ถ้า $\displaystyle \sum_{4}^{7}f(x) = 62, \displaystyle \sum_{9}^{12}f(x) = 122, \displaystyle \sum_{13}^{17}f(x) = 220$

และค่าของ $\displaystyle \sum_{1}^{20}f(x)$ มีเพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้

จงหาค่าของ f(100)


7 เรขาคณิต 80 คะแนน

แผนที่ของดาว TUGMOs สามารถวาดบนระบบพิกัดสองมิติได้ บ้านของน้องแป้งอยู่ที่จุด (0, 0) และโรงเรียนอยู่ที่จุด (3, 3) น้องแป้งต้องการเดินจากบ้าน ไปที่จุดใดๆ บนถนนที่แทนด้วยเส้นตรง y = 2 จากนั้น ไปยังจุดใดๆ บนแม่น้ำที่แทนด้วยเส้นตรง y = 1 จากนั้นจึงไปโรงเรียน น้องแป้งจะต้องเดินเป็นระยะทางสั้นที่สุดกี่หน่วย


8 เรขาคณิต 100 คะแนน

ให้ $\square ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มี $\overline{AB} // \overline{CD}$ กำหนด AB : CD = 2 : 3 ให้ P และ Q เป็นจุดบนด้าน $\overline{AD}$ และ $\overline{BC}$ ตามลำดับ โดยที่ AP : PD = 1 : 3 และ BQ : QC = 3 : 1 จงหาอัตราส่วนของพื้นที่ $\square ABQP$ ต่อพื้นที่ $\square CDPQ$


9 เรขาคณิต 130 คะแนน

จากจุด (1, 1) ลากเส้นตรงที่แตกต่างกัน 2 เส้น ไปสัมผัสเส้นกราฟ $y = x^2 + x + 3$ จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุด (1, 1) และจุดสัมผัสทั้งสอง (ตอบเป็นตารางหน่วย)

10 การนับและความน่าจะเป็น 80 คะแนน

เกมโชว์รายการ "แผ่นป้ายมหัศจรรย์บรรลัยกัลป์" มีแผ่นป้าย 10 แผ่น ซึ่งจะมีแผ่นป้ายรูปม้า 3 แผ่นอยู่ในนั้น ให้ผู้เข้าแข่งขันเลือกแผ่นป้ายได้ 4 แผ่น ถ้าเลือกได้แผ่นป้ายรูปม้าอย่างน้อย 2 แผ่น จะได้รางวัลพิเศษ จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าแข่งขันจะได้รางวัลพิเศษ


11 การนับและความน่าจะเป็น 100 คะแนน

จากรูปเป็นกระดานตะปูรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาจำนวนสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากการเชื่อมจุด 3 จุดใดๆ ในรูป และมีพื้นที่เท่ากับ 3 ตารางหน่วย (รูปที่เกิดจากการสะท้อน การหมุน หรือการเลื่อนขนานของอีกรูปหนึ่ง ถือว่าเป็นรูปใหม่และไม่ซ้ำกับรูปเดิม)

12 การนับและความน่าจะเป็น 130 คะแนน

กำหนดตารางขนาด 2007 x 2550 ช่อง นำกระจกเงาที่มีความยาว 2007 ช่องตารางมา 2 บาน และความยาว 2550 ช่องตารางมา 2 บาน มาวางเป็นกรอบของตารางดังกล่าว เจาะรูเล็กๆ ที่มุมหนึ่งของกรอบ และฉายแสงในทิศทำมุม 45 องศากับกระจกเงา แสงจะเดินทางเป็นเส้นตรง และสะท้อนตามกฎของสเนลล์ (ขนาดของมุมตกกระทบเท่ากับขนาดของมุมสะท้อน) ถ้าให้ A แทนจำนวนช่องตารางที่แสงนี้ผ่านก่อนออกจากตาราง จงหาค่าของ $\sqrt{A-(3)(11)(171)(223)}$

13 คำถามสำรอง 1

ให้ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $2x - 5$ หาร $x^2 + 2x + 9$ ลงตัว เมื่อนำผลรวมของค่า x ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมาหารด้วย 10 จะเหลือเศษเท่าใด


14 คำถามสำรอง 2

กล่องใบหนึ่งมีฉลากหมายเลข 1 ถึง 10 สุ่มหยิบฉลากมา 4 ใบพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ฉลากหมายเลขน้อยกว่า 4 สองใบ และหมายเลขมากกว่า 6 หนึ่งใบ เป็นเท่าไร


15 คำถามสำรอง 3

กำหนดวงกลม O มา 1 วง วาดวงกลม 3 วง ที่มีขนาดเท่ากันลงไปในวงกลม O โดยให้แต่ละวงสัมผัสวงกลม O แบบภายใน และสัมผัสกันเองภายนอก วาดวงกลม P ให้สัมผัสภายนอกกับทั้ง 3 วงกลม ดังรูป จงหาว่าพื้นที่วงกลม O เป็นกี่เท่าของพื้นที่วงกลม P

16 คำถามสำรอง 4

จากรูปเป็นกระดานตะปูรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จงหาจำนวนส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดบนกระดาน และผ่านจุดอย่างน้อย 3 จุด

[banker]

หมายเหตุ

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1168

รอบ 1 ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1175

รอบ 2 ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1176

[หยินหยาง]

ห้องนี้เงียบเข้ามาปลุกให้ตื่น ครับ ไม่ทราบว่าต้องการถามหรือมาเผยแพร่ข้อมูลครับ
ถ้าจะถามละ็ก็ อยากจะบอกว่า "สวัสดี"
แต่ถ้ามาเผยแพร่ข้อมูลละก็ จะบอกว่า "ขอบคุณ"