ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่7 ปี 2552

[Jew]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมไม่ได้หมายความว่า 16 เป็นตัวประกอบของ 2552 ครับ

ผมหมายถึงว่า 2552 มีจำนวนตัวประกอบทั้งสิ้น 16 ตัวครับ

อยากให้ลองอีกรอบครับ
ผมว่าไม่ใช่ 16 แน่ๆครับ
เพราะตอนเขียนคำตอบผมเขียน 16
ลงไปแล้วทำไม่ได้ 1.756 ล่ะครับ
ถ้าสมมติว่าข้อนี้ตอบ 16 จริงผมต้องได้มากกว่า 2 คะแนน สิครับ
เพราะข้อนี้มัน 2 คะแนนกว่าแล้วนะครับ.....

[คusักคณิm]

$2552=2^3\times29\times11$
$2552มีตัวประกอบ4\times2\times2=16ตัว$

[Onasdi]

ข้อ 2 ตอน 2
เราต้องการหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก x ที่ทำให้ $x^\frac{2552}{x}$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จะแสดงว่าตัวประกอบเฉพาะของ x เป็นตัวอื่นนอกจาก 2, 11 ,29 ไม่ได้ (ตัวประกอบเฉพาะของ 2552)
สมมติว่าไม่จริง นั่นก็คือมีจำนวนเฉพาะ $p\notin\{2,11,29\}$ ซึ่ง $p|x$
ให้ n เป็นกำลังสูงสุดที่ p หาร x ลงตัว
จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{2552}{x}}$ เป็นเศษส่วนติด $p^n$ อยู่ที่ตัวส่วน
ดังนั้นไม่ใช่ $x^\frac{2552}{x}$ จำนวนเต็มบวก เพราะว่า $\displaystyle{\Big(p^n\Big)^\frac{1}{p^n}}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม

จึงสรุปได้ว่า x อยู่ในรูป $2^a\,11^b\,29^c$
ได้ $\displaystyle{x^\frac{2552}{x}=\Big(2^{a}\,11^{b}\,29^{c}\Big)^\frac{1}{2^{a-3}\,11^{b-1}\,29^{c-1}}}$
ดังนั้น $2^\frac{a}{2^{a-3}}$, $11^\frac{b}{11^{b-1}}$, $29^\frac{c}{29^{c-1}}$ เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ $a\in\{0,1,2,3,4\},\,b,c\in\{0,1\}$ [a,b,c ที่มากกว่านี้จะทำให้เลยชี้กำลัง < 1]

พิจารณา $\displaystyle{x^\frac{2552}{x}=\Big(2^{a}\,11^{b}\,29^{c}\Big)^\frac{1}{2^{a-3}\,11^{b-1}\,29^{c-1}}}$
สำหรับ a=4 จะเกิด 1/2 ขึ้นที่เลยชี้กำลัง บังคับให้ b=c=0
ส่วนค่า a,b,c อื่นๆ จะทำให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จึงใช้ได้หมด
ตอบ $1+4\times 2\times 2=17$

จริงๆไอเดียไม่ยาวครับ แต่เขียนออกมาแล้วยาว
สงสัยถามได้นะครับ ผมเขียนเองยังงงเลย