NT Problems

[Influenza_Mathematics]

1. จงหาค่าสูงสุดของ $\sqrt[n]{n}$ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $
2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$

ref : mathlink
3.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

(แต่งเอง)ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน($a+b+c$ ไม่เท่ากับศูนย์ด้วย) จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ
$$\dfrac{[7(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca)]^2}{\left|\,\right.ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\left.\,\right| }$$
และถ้าเป็นไปได้จงหาค่าของ $a,b,c$ ณ ตำแหน่งที่ค่าน้อยสุดเกิดขึ้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

1. จงหาค่าสูงสุดของ $\sqrt[n]{n}$ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $

$\sqrt[3]{3}$

ลองพิสูจน์โดยใช้ induction ว่า

$n^3\leq 3^n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$

อันนี้ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ แต่มีแนวโน้มว่าจะจริง

$k=2,4$

ถ้า $k\geq 5$ แล้ว

$1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$

Proof:

เมื่อ $k=5,6$ อสมการเป็นจริง

สมมติ $1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$ เมื่อ $k\geq 6$______(1)

จะได้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k\geq \Big(\dfrac{11}{10}\Big)^6>\dfrac{17}{10}$.

ดังนั้น

$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<17\cdot 10^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<10\cdot 11^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<9\cdot 5^k+10\cdot 11^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$______(2)

(1)+(2);

$1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\sqrt[3]{3}$

ลองพิสูจน์โดยใช้ induction ว่า

$n^3\leq 3^n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$

ผมว่าเป็น $\sqrt[e]{e}$ นะคับ
ขอโทษด้วยคับลืมมองไปว่า n เป็นจำนวนนับคับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$

ทำ Soln แบบน่าเบื่อๆให้ 55+
อยากเห็นแบบสวยๆเหมือนกัน =="

ใช้ mod 5 เช็ค จะได้ $2|k$ ให้ $k=2k_1$
ได้สมการเป็น
$121^{k_1}-100^{k_1}=81^{k_1}+1^{k_1}-25^{k_1}-36^{k_1}$
ถ้า $m \ge 3$
จะพิสูจน์โดย induction ว่า
$121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$
ขั้นฐาน ถึก =="
ขั้นอุปนัย ให้ $m$ จริง
นั่นคือ $121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$
พิจรณา $121^{m+1}-100^{m+1}$
$=100(121^{m}-100^{m})+21(121)^m> 100(81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m})+21(121)^m$
$=(81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1})+21(121)^m+19(81)^m+99-75(25)^m-64(36)^m$
แล้วก็ induction 2 ตัวนี้อีกที( ซึ่งทำได้ไม่ยาก==",$m\ge3$ ด้วยนะ )
$21(121)^m-64(36)^m>0$
$19(81)^m-75(25)^m>0$
ก็จะได้
$121^{m+1}-100^{m+1}>81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1}$

เราจึงได้ว่า $k_1=1,2$ เท่านั้น
เมื่อเช็คแล้วจริงทั้งคู่

[Keehlzver]

ผมไม่รู้นะครับว่าคุณ tatari เขาแอบแฝงอะไรไว้ในโจทย์ข้อนี้หรือเปล่า หรือเป็นผมที่พลาดเอง แต่ลองคิดคร่าวๆก็เป็นแบบนี้ครับผม

ข้อยากข้อ 3 ผม bound ดูแบบนี้ $\frac{(7(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca))^2}{|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|} \geq \frac{1}{M}$

โดยที่ M ตัวนี้คือค่าที่ได้จาก IMO ข้อ 3 ปี 2006 ซึ่งค่าต่ำสุดของโจทย์คือ $\frac{1}{M}$ โดยที่ $M=\frac{9}{16\sqrt{2}}$

อสมการข้างบนสมมูลกับ $(2a^2+2b^2+2c^2+2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2)(4a^2+4b^2+4c^2+2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2)\geq 0$

แต่ว่า $a,b,c$ ที่ทำให้อสมการมันเป็นสมการพร้อมกันน่ะครับ คิดว่าไม่มีเพราะอสมการแรก $a=b=c=0$ เท่านั้น ซึ่งไม่มีทางเกิด(ส่วนห้ามเป็นศูนย์) ส่วนอสมการหลัง $(a,b,c)=(2,2+3\sqrt{2},2-3\sqrt{2})$

[nooonuii]

พิสูจน์ข้อ 2 ได้แล้วครับ ดูที่ #3

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อันนี้ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ แต่มีแนวโน้มว่าจะจริง

$k=2,4$

ถ้า $k\geq 5$ แล้ว

$1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$

Proof:

เมื่อ $k=5,6$ อสมการเป็นจริง

สมมติ $1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$ เมื่อ $k\geq 6$______(1)

จะได้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k\geq \Big(\dfrac{11}{10}\Big)^6>\dfrac{17}{10}$.

ดังนั้น

$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<17\cdot 10^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<10\cdot 11^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<9\cdot 5^k+10\cdot 11^k$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$______(2)

(1)+(2);

$1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$

ตรง 17/10และบรรทัด ต่อ ๆ มา มายังไงหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ตรง 17/10และบรรทัด ต่อ ๆ มา มายังไงหรอครับ

ต้องมองย้อนกลับไปเรื่อยๆครับ

เริ่มแรกสิ่งที่ต้องการคือ $1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$

จากเงื่อนไขขั้นอุปนัยเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$

แต่อสมการนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิดจึงพยายามทำให้ง่ายลงโดยการสร้างขอบเขตคร่าวๆไปเรื่อยๆ

$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<8\cdot 10^k+9\cdot 10^k=17\cdot 10^k$

ในขณะที่ $4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k>10\cdot 11^k$

ดังนั้นถ้าเราพิสูจน์ว่า $17\cdot 10^k<10\cdot 11^k$ อสมการจะสามารถเชื่อมต่อกันได้หมด

จะพิสูจน์อสมการนี้ก็พยายามจัดให้เข้ารูปนี้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k>\dfrac{17}{10}$

ซึ่งมองง่ายกว่า จากนั้นก็ลองสุ่มว่า $k$ น้อยสุดค่าใดที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง

ถ้าจริงสำหรับ $k$ สักค่าหนึ่งค่าที่มากกว่าก็จะจริงเพราะฟังก์ชันทางฝั่งซ้ายเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

ก็พบว่า $k$ เริ่มจาก $6$ จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องแยกกรณี $k=5,6$ ออกมาคิดก่อน

[Influenza_Mathematics]

ขออีกข้อครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $7p+3^p-4$ ไม่เป้นกำลังสองสมบูรณ์

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ขออีกข้อครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

สมมุติให้ $7p+3^p-4$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$7p+3^p-4 \equiv 0 \pmod{2}$

$\therefore 7p+2^p-4 \equiv 0 \pmod{4}$

ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า 4 หาร $7p+3^p-4$ ไม่ลงตัว

กรณีที่ 1 $p=4k+1$

$7(4k+1)+3^{4k+1}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4} $ เกิดข้อขัดแย้ง

กรณีที่ 2 $p=4m+3$

$7(4m+3)+3^{4m+3}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4}$ เกิดข้อขัดแย้ง

จะได้ว่า $4\nmid 7p+3^p-4$

$\therefore 7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[ง่วงนอน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

สมมุติให้ $7p+3^p-4$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$7p+3^p-4 \equiv 0 \pmod{2}$

$\therefore 7p+2^p-4 \equiv 0 \pmod{4}$

ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า 4 หาร $7p+3^p-4$ ไม่ลงตัว

กรณีที่ 1 $p=4k+1$

$7(4k+1)+3^{4k+1}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4} $ เกิดข้อขัดแย้ง

กรณีที่ 2 $p=4m+3$

$7(4m+3)+3^{4m+3}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4}$ เกิดข้อขัดแย้ง

จะได้ว่า $4\nmid 7p+3^p-4$

$\therefore 7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$7(4m+3)\equiv 1 (mod 4)$ ไม่ใช่เหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ขออีกข้อครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตอนนี้มีแต่วิธีที่ใช้เครื่องมือหนักครับ

$p=2,3$ เห็นได้ชัด

สมมติ $p\geq 5$ และ $7p+3^p-4=x^2$ สำหรับบาง $x\in\mathbb{Z}$

$x^2= 7p+3^p-4\equiv -p-1\pmod{4}$

แต่ $x^2\equiv 0,1\pmod{4}$

จึงได้ $-p-1\equiv 0,1\pmod{4}$

เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า $p\equiv 3\pmod{4}$ เท่านั้น

จาก Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $3^p\equiv 3\pmod{p}$

ดังนั้น $x^2=7p+3^p-4\equiv -1\pmod{p}$

แต่สมการ $x^2\equiv -1\pmod{p}$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มถ้า $p\equiv 3\pmod{4}$

จึงเกิดข้อขัดแย้ง