ตรีโกณระดับม.5

[Catt]

ไม่ได้เข้ามาสักพักนึงรู้สึกว่าเวปบอร์ดคึกคักขึ้นเยอะจริงๆ
เลยฝากโจทย์ให้เพื่อนๆพี่ๆน้องๆทำกันสนุกๆอีกสักข้อนึง (ไม่รู้จะเคยทำกันยัง)
ให้ a,x,y,z เป็นจำนวนจริงซึ่ง
(cosx + cosy + cosz)/cos(x + y + z) =(sinx + siny + sinz)/sin(x + y + z) = a
จงหาค่าของ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x)

[gon]

ตอบติดในรูปของ x,y,z,a หรือเปล่าครับ
หรือในรูป a อย่างเดียว
หรือมีคำตอบสวย ๆ

[gon]

อ้อ. ผมทำได้ล่ะ ที่แรกคิดว่าจะยุ่งซะอีก
ก็ย้ายข้างเอาส่วนไปคูณกับ a
ก็จะได้ 2 สมการ
จากนั้นก็จับยกกำลังสองแล้วบวกกัน
จัดรูปจะได้ ว่า โจทย์ = (a² - 3)/2
ราว ๆ นี้ละมั้งครับ

[Catt]

ที่คุณ gon หามันคือ cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)
แต่โจทย์ถาม cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x)
คุณ gon รีบทำไปหน่อยป่าว
ปล.คำตอบอยู่ในเทอมของ a

cos(x+t) + cos(y+t) + cos(z+t) = a cos(x+y+z+t)
แทน t = -x, -y, -z แล้วบวกกันหมด
จะได้ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(x+z) = a

ไม่เข้าใจครับ

(1) cos x + cos y + cos z = a cos(x+y+z)
(2) sin x + sin y + sin z = a sin(x+y+z)

(1)cos(t) - (2) sin t: cos(x + t) + cos(y + t) + cos(z + t) = a cos(x+y+z+t)

t = -x: 1 + cos(y-x) + cos(z-x) = a cos(y+z)
t = -y: cos(x-y) + 1 + cos(z-y) = a cos(x+z)
t = -z: cos(x - z) + cos(y - z) + 1 = a cos(x+y)
บวกกันหมด จะได้
3 + 2[cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)] = a[cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x)]

(1)² + (2)²: 3 + 2[cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)] = a²

จึงได้ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) = a เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0

(ต่อ) ถ้า a = 0 ล่ะ?
เราแสดงได้ไม่ยากว่า x, y และ z จะต้องเรียงตัว
ห่างเท่าๆ กันบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ซึ่งในกรณีเช่นนี้ เราแสดงต่อได้อีกว่า
cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) = 0

[Catt]

เก่งมากเลยครับ

ขอเสนออีกวิธีล่ะกัน
จากโจทย์จะได้ isinx +isiny + isinz = aisin(x+y+z)
รวมกับสมการของcosจะได้ e^ix +e^iy + e^iz = ae^i(x+y+z)
นำe^i(x+y+z)หารตลอดจะได้
cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x) - i(sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)) = a
ฉะนั้น cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x) = a

[mathcenter]

นั่นไงผมว่าแล้วมันต้องคิดง่าย ๆ แบบนี้

สวยงามกว่าที่ผมคิดไว้เยอะ เยี่ยม!

ติดนิดนึง
คือว่าตรงที่ เอา e^i(x+y+z) หารตลอด
แล้วจะได้เป็น e^i(-x-y) + e^i(-y-z) + e^i(-z-x)
เนื่องจาก cos (-a) = cos a
และ sin (-a) = -sin a
ดังนั้นจึงได้
cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)-
i[sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)] = a
ผมเข้าใจถูกแล้วใช่ไหมครับ