Nice from Crux

[Anonymous314]

จงหา $k$ ที่มากสุดที่ทำให้จำนวนจริงบวก $a,b,c$
$(a^3 + 3)(b^3 + 6)(c^3 + 12) \ge k(a + b + c)^3 $

[gools]

โดย Holder's Inequality จะได้ว่า
$(a^3+2+1)(2+4+b^3)(4+c^3+8) \geq 8(a+b+c)^3$
ดังนั้นค่า k ที่มากที่สุดคือ 8 ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

โดย Holder's Inequality จะได้ว่า
$(a^3+2+1)(2+4+b^3)(4+c^3+8) \geq 8(a+b+c)^3$
ดังนั้นค่า k ที่มากที่สุดคือ 8 ครับ

ตอนแรกว่าจะตอบแบบนี้เหมือนกัน แต่หาเงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงไม่ได้อ่ะครับ

[gools]

กรณีที่เป็นสมการกรณีหนึ่งคือ $b=\sqrt[3]{2}a,c=\sqrt[3]{4}a$ และ $a$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3+3=x+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}x$ ครับ

[nooonuii]

เจอที่ผิดแล้วครับ ผมคำนวณพลาดนี่้เอง

[Anonymous314]

ในนั้นมันบอกว่าค่าสูงสุดของ $k$ คือ $k = \left( {7\cos \left( {\frac{1}{3}\cos ^{ - 1} \frac{{89}}{{343}}} \right) - \frac{7}{2}} \right)^2 \approx 8.093$ ทำไมอะครับ งง ???

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

กรณีที่เป็นสมการกรณีหนึ่งคือ $b=\sqrt[3]{2}a,c=\sqrt[3]{4}a$ และ $a$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3+3=x+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}x$ ครับ

ผมว่าสมการนี้มีรากจริงเป็นลบครับ

หลังจากเห็นเฉลยแล้ว เลยรู้ว่าคำนวณผิดอีกแล้ว

ผมว่าเฉลยน่าจะถูกแล้วล่ะ

อสมการ

$(\sum x_iy_iz_i)^3\leq (\sum x_i^3)(\sum y_i^3)(\sum z_i^3)$

เป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x_i=y_i=z_i$ ทุก $i$

เลยใช้กับกรณีนี้ไม่ได้

[Anonymous314]

ใน CRUX มันไม่บอกมาอะครับว่าทำอย่างไร โจทย์จริงๆ คือ ให้หา $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่สอดคล้องครับ
แต่ผมอยากรู้ครับว่าจะหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดอย่างไร

[dektep]

หา K ที่เป็นจำนวนเต็มเหรอครับ

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมว่าสมการนี้มีรากจริงเป็นลบครับ

หลังจากเห็นเฉลยแล้ว เลยรู้ว่าคำนวณผิดอีกแล้ว

ผมว่าเฉลยน่าจะถูกแล้วล่ะ

อสมการ

$(\sum x_iy_iz_i)^3\leq (\sum x_i^3)(\sum y_i^3)(\sum z_i^3)$

เป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x_i=y_i=z_i$ ทุก $i$

เลยใช้กับกรณีนี้ไม่ได้

แล้วเฉลยจริงๆเป็นยังไงเหรอครับ

[Anonymous314]

นี่ครับแต่เป็นเมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น ถ้า $k=8$ ไม่มีทางเท่าหรอกครับ

[owlpenguin]

ตลกดีอ่ะครับ พอยัด $2x^3+21x^2-216=0$ ลงใน Mathematica ออกมาเป็นดังรูปครับ

พบว่าทั้ง 3 รากเป็นเชิงซ้อนทั้งหมด

[murderer@IPST]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อสมการ

$(\sum x_iy_iz_i)^3\leq (\sum x_i^3)(\sum y_i^3)(\sum z_i^3)$

เป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x_i=y_i=z_i$ ทุก $i$

เลยใช้กับกรณีนี้ไม่ได้

อสมการนี้ไม่ได้เกิดสมการเฉพาะเท่ากันหมดน่ะครับแต่แค่อัตราส่วนเท่ากันหมดก็เกิดได้ครับ

[Anonymous314]

เครื่องคิดเลขผมแก้ได้จำนวนจริง 3 จำนวนเลยครับได้รากของ $2x^3 + 21x^2 - 216 = 0$
ได้แก่ 2.844824292,-9.233154914,-4.111669378 (เวลาใช้ใช้แต่รากบวกเท่านั้น)
เครื่องคิดเลขที่ใช้ : Casio fx-991Ms S-V.P.A.M

[Anonymous314]

ทำไมค่า $k$ ที่มากสุดต้องเป็นรากสมการของ $2x^3 + 21x^2 - 216 = 0$ ด้วยอะครับ