For a lesson

[tatari/nightmare]

ถ้ากำหนดให้ว่า $a,b,c>0,abc=1$ แล้วจงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\leq 3(a+b+c)$$

[JanFS]

น่าคิดดีนะครับ
ผมเคยเห็นแต่ข้อที่ง่ายกว่าก็คือ
ให้ $a,b,c>0$ ที่ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ จะได้ว่า
$$\sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\geq 3(a+b+c)$$

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JanFS

น่าคิดดีนะครับ
ผมเคยเห็นแต่ข้อที่ง่ายกว่าก็คือ
ให้ $a,b,c>0$ ที่ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ จะได้ว่า
$$\sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\geq 3(a+b+c)$$

ให้ $f(x)=\sqrt{1+8x^2}$ ได้ว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันนูน ($f''(x)=\frac{8}{(1+8x^2)^{1.5}}$>0)
$\therefore\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\geq f(\frac{a+b+c}{3})$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\geq 3\sqrt{1+\frac{8(a+b+c)^2}{9}}$

แต่จาก $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9$
$\therefore\frac{8(a+b+c)^2}{9}+1\geq (a+b+c)^2$

$\therefore\sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\geq 3\sqrt{1+\frac{8(a+b+c)^2}{9}}\geq 3\sqrt{(a+b+c)^2}=3(a+b+c)$

[RoSe-JoKer]

ผมเกรียนเองครับ 55

[Ai-Ko]

จากเงื่อนที่โจทย์ให้และอสมการ Weighted AM-GM สามารถพิสูจน์ได้ว่า
$\sqrt{1+8a^2}\geq\frac{25}{9}a+\frac{1}{9}b+\frac{1}{9}c$
พิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับสองตัวแปรที่เหลือ แล้วหาผลบวกของทั้งสองข้าง แล้วจะได้อสมการที่โจทย์ต้องการ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

หืมผมรู้สึกว่า
$f(x)=\sqrt{x}$ จะเว้านะครับ......

ครับ ก็ $\sqrt{x}$ เป็นฟังก์ชันเว้า ส่วน $\sqrt{1+8x^2}$ เป็นฟังก์ชันนูนครับ

[square1zoa]

อยากเห็นกรณีที่ $abc=1$ จังเลยครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

อยากเห็นกรณีที่ $abc=1$ จังเลยครับ

ส่วนกรณีที่abc=1 จะเป้นแบบนี้ครับ


ถ้ากำหนดให้ว่า $a,b,c>0,abc=1$ แล้วจงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt{1+8a^2}+\sqrt{1+8b^2}+\sqrt{1+8c^2}\leq 3(a+b+c)$$


ได้เห็นแล้ว