|
|
#1
21 พฤศจิกายน 2008, 22:11
|
||||
|
||||
เทยลำ
ให้ $x,y,z \geq 0$ ซึ่ง $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xyz=4$
จงแสดงว่า $$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x \leq 3$$  (อยากได้ solution กระจาย อ่ะครับ เพราะผมทำวิธีธรรมดาแล้วง่ายมากเลย (ล้อเล่น  ))นั่นไง กดจริงๆด้วย ใช้ AM-GM ดีดีครับ
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก  (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 
|
|
#2
01 ธันวาคม 2008, 22:23
|
||||
|
||||
|
กะไว้แล้วว่า โจทย์ซีรีส์ "ทำเลย" จะไม่มีคนทำได้
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$
|
|
#3
04 มกราคม 2009, 19:03
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 ผมใช้เวลาคิดข้อนี้นานมากเลยครับ (เพิ่งหาวิธีคิดที่ไม่กระจายได้) ตอนแรกผมก็นึกว่าจะต้องใช้อสมการ$3(x^3y+y^3z+z^3x)\leq (x^2+y^2+z^2)^2$ แต่จริงๆแล้วกลับไม่มีอะไรเลย -*- สมมุติว่า (ขอบคุณคุณ beginner01 ด้วยนะครับ :-)) x=max{x,y,z} จาก $x^3=4-xyz-y^3-z^3$ เราได้ว่าอสมการที่จะต้องพิสูจน์ $x^3y+y^3z+z^3x\leq 3$ $\leftrightarrow 4y-y^4-yz^3+y^3z-3\leq (y^2z-z^3)x$ $\leftrightarrow \frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq x$ แต่ว่า $\frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq y$ $\leftrightarrow 4y\leq y^4+3$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ AM-GM ดังนั้นเราจึงได้ว่า $\frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq x$ ตามต้องการ - -
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 04 มกราคม 2009 19:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer
|
|
#4
04 มกราคม 2009, 19:06
|
|||
|
|||
|
WLOG ไม่ได้ครับ
 อสมการที่จะพิสูจน์ไม่สมมาตรทางที่ดี แก้ตรง WLOG เป็น ให้ $a$ มีค่ามากที่สุดในบรรดา $a,b,c$ จะดีกว่าครับ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 
04 มกราคม 2009 19:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01
|
|
#5
04 มกราคม 2009, 23:09
|
||||
|
||||
|
โอ้ สุดยอดเลยครับ สมกับเป็นคุณ RJK เลยครับผม
|
  |
|
|
