มีโจทย์ให้ช่วยหน่อยครับ 2 ข้อ

[LightLucifer]

ช่วยหน่อยครับสองข้อนี้

$Prove \ that\ ,\ for \ n=1,2,3,...$
$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<3$$


$Suppose\ the\ polynomial\ x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_n\ canbe \ factored \ into \ (x+r_1)(x+r_2)...(x+r_n)\ where \ r_1,r_1,...,r_n\ are \ real \ numbers.\ Prove\ that$
$$(n-1)a_1^2\geqslant2na_2$$

[Scylla_Shadow]

1. กำหนดให้ x เป็นจน.เต็มบวกซึ่ง x>3

จะได้ $x!>2^{x-1}$

$\frac{1}{x!}<\frac{1}{2^{x-1}}$

then...

$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$

[nongtum]

ขออนุญาตละ index ในบางจุดนะครับ

ข้อสอง จาก $$\sum_{i=0}^n a_ix^{n-i}=\prod_{i=1}^n(x+r_i),\qquad a_0=1$$ เราจะได้ $$\sum r_i=a_1,\quad\textrm{และ}\quad\sum r_ir_j=a_2$$
ดังนั้นสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ จึงเป็นการแสดงว่า $$(n-1)(\sum r_i)^2\ge 2n\sum r_ir_j$$ ซึ่งเป็นจริงเนื่องจากโดย Cauchy schwarz inequality
$$\begin{eqnarray}
n\sum r_i^2&\ge&(\sum r_i)^2\\
(n-1)\sum r_i^2&\ge&2\sum r_ir_j\\
(n-1)(\sum r_i)^2&\ge&2(n-1)\sum r_ir_j + 2\sum r_ir_j\\
&=&2n\sum r_ir_j\\
\end{eqnarray}$$

ปล. หากไม่เข้าใจว่ามาได้ยังไง ลองทดย้อนกลับดูนะครับ