ต้องการแนวคิดด่วน!!!!!!

[Alberta]

เมื่อ a b เป็นจำนวนเต็ม โดยa b ไม่เท่ากับ0
จงหาเงื่อนไขที่จะทำให้ 1/(a+b)^2 < 1/a^2 + 1/b^2

[nongtum]

โดยใช้ AM-GM-HM inequalities จะได้ว่า
\[\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \ge \sqrt{\frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b^2}} \ge \frac{2}{a^2+b^2} > \frac{1}{a^2+b^2+2ab} = \frac{1}{(a+b)^2} \]ดังนั้น อสมการที่ให้เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก a,b (สังเกตว่า \(\frac{1}{a}>\frac{1}{a+b}\) เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก)

[Alberta]

ต้องขอโทษอย่างสูงคับ ผมพิมพ์โจทย์ผิด
ข้อแก้เป็น a b เป็นจำนวนเต็มนะครับ(แก้แล้ว)

[gon]

ลองคิดได้บางส่วนแล้วครับ. ลองดูนะว่าจะช่วยใ้ห้คิดต่อได้จบหรือเปล่า.

จัดรูปโจทย์จะได้ \((ab)^2 < (a+b)^2[(a+b)^2 - 2ab)] \)
สมมติให้ \(p = a + b, q = ab \Rightarrow q^2 < p^2(p^2 - 2q) \)
\((a+b)^2 \ge 4ab \Rightarrow p^2 \geq 4q\)
จะเห็นได้ว่าถ้า q > 0 แล้ว \(p^2(p^2 - 2q) \geq 4q(2q) = 8q^2 \geq q^2 >q^2 \, เมื่อ \, q \ne 0\)

นั่นคือ ทุก \( ab > 0 \) จะทำให้อสมการเป็นจริง