Composite number

[dektep]

กำหนดให้ $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนนับซึ่ง $a > b > c > d$ และ $(a+b-c+d)|(ac+bd)$ จงพิสูจน์ว่าทุกๆจำนวนเต็ม $m$ ใดๆและจำนวนคี่ $n$ ใดๆ $a^nb^m+c^md^n$ เป็นจำนวนประกอบ
(around the world 2008)

[holmes]

ข้อนี้ มันง่ายนี่ครับ

แนะ ให้ดู gcd

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

กำหนดให้ $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนนับซึ่ง $a > b > c > d$ และ $(a+b-c+d)|(ac+bd)$ จงพิสูจน์ว่าทุกๆจำนวนเต็ม $m$ ใดๆและจำนวนคี่ $n$ ใดๆ $a^nb^m+c^md^n$ เป็นจำนวนประกอบ
(Silk road MO2008)

This problem is not The Silk road MO2008,It is Mongolia TST2008
It's seem to be easy

Solution

จาก $(a+b-c+d)|(ac+bd)$ เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า $a+b-c+d\mid (a+d)(b+d)$
เนื่องจาก $a>c$ จึงได้ว่า $a+d+b-c >b+d$
ฉะนั้นถ้าไม่มีตัวหารใดเลยของ $a+b-c+d$ หาร $a+d$ ลงตัว ก็จะได้ว่า $a+b-c+d\mid b+d$ ซึ่งขัดแย้งกับที่
$a+d-c+b>b+d$
ดังนั้นจะมี $z>1,z\mid a+b-c+d$ ซึ่ง $z\mid a+d$ ทำให้ได้ว่า $z\mid b-c$
จากตรงนี้เราจะได้ว่า $b^m \equiv c^m (mod z)$ และจากที่ n เป็นจำนวนคี่จึงได้ว่า
$a^n\equiv -d^n (mod z) \therefore a^nb^m\equiv -c^md^n(mod z)$ #####

Poon.

[dektep]

ครับๆ แก้ไขให้แล้วครับ