Sequences and Series Marathon

[passer-by]

สำหรับข้อ 21

HINT(2)

สำหรับใครที่ไม่ใช้ Wallis Product ให้พิจารณา
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}x \,\, dx < \cdots $$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
21. Evaluate $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \bigg(\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n-1)}\bigg)^2 \frac{1}{2n+1} $$

HINT

integrate some forms of sine function

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
p.s. HINT ในข้อ 21 ผมให้ไว้ เผื่อใครไม่อยากตอบแบบใช้สูตรสำเร็จรูปบางอย่าง (ที่ขึ้นต้นด้วย W)

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
สำหรับข้อ 21

HINT(2)

สำหรับใครที่ไม่ใช้ Wallis Product ให้พิจารณา
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}x \,\, dx < \cdots $$

ผมว่าข้อนี้ยังงั้ยยังไงก็ต้องใช้ Wallis' product นะครับ คือถ้าไม่ใช้ในรูปของสูตรสำเร็จ ก็ต้องใช้การพิสูจน์ที่มาของ Wallis' product แทน

ถ้าใช้สูตรสำเร็จผมทำแบบนี้ครับ

จาก Wallis' product เรารู้ว่า $$ \frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \right) \left( \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \right) \left( \frac{6\cdot6}{5\cdot7} \right) \cdots \left( \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \right) $$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))(3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n+1))} $$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))^2 (2n+1)} $$ ซึ่งก็คือสิ่งที่เราต้องการนั่นเอง แต่ถ้าจะทำอย่างที่คุณ passer-by ให้ hint ไว้ก็คงทำคล้ายๆ อย่างนี้ มั้งครับ

คำถามข้อต่อไปเป็นภาคต่อของข้อ 21. ที่ผมเพิ่งทำเสร็จไปหมาดๆนี่แหละครับ

22. จงหาค่าของ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 $$

[passer-by]

สำหรับข้อ 21 วิธีที่ผม hint ไว้ ก็คล้ายๆใน pdf file ที่คุณ Warut ให้ linkไว้นั่นแหละครับ

แต่ถ้าใครไม่อยาก derive ผ่าน integrate by part ผมแนะนำให้ลองหันมาใช้ Equivalent form of beta function ดูครับ

$$ B(x,y)= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta \,\,d\theta \quad (x,y >0) $$

และ link เข้าหา gamma function โดยใช้สูตร $$ B(x,y)=\frac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} $$

[Timestopper_STG]

มาผ่อนคลายกันบ้างนะครับ
23.จงแสดงว่าลำดับ $n\sin n$ ไม่มีขอบเขต

[Mastermander]

22.
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2=\lim_{n\to\infty} \frac{n\big((2n)!\big)^2}{2^{4n}(n!)^4}}$

Stirling's Approximation: $n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}$
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {2\pi \left( {2n} \right)^{4n + 1} e^{ - 4n} } \right)}}{{2^{4n} \left( {4\pi ^2 n^{4n + 2} e^{ - 4n} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{\pi } = \frac{1}{\pi }
\]

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
คำถามข้อต่อไปเป็นภาคต่อของข้อ 21. ที่ผมเพิ่งทำเสร็จไปหมาดๆนี่แหละครับ

22. จงหาค่าของ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 $$

ข้อนี้จะใช้ผลจากข้อ 21. ทำดังนี้ก็ได้ครับ

จาก $$ \frac{\pi}{2}= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))^2 (2n+1)} $$ และ $$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} = \frac{1}{2^{2n}} { 2n \choose n } $$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} =\frac{\pi}{2} $$ เนื่องจาก $$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 \right) \left( \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} \right) =1$$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 =\frac{1}{\pi} $$

[passer-by]

24. ให้ $k >1 $ เป็น fixed positive integer

หาค่า $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{k-1}}{n \choose i}{n \choose k-i}}{\displaystyle{{kn \choose k}}}$$


Note : จริงๆ ข้อนี้มีเบื้องหลังทาง combinatorics ที่ผมยังข้องใจนิดๆจนถึงวันนี้ เอาไว้มีคนมาตอบข้อนี้เมื่อไหร่ แล้วผมจะมาขยายความให้ฟังครับ

[passer-by]

เพิ่งนึกได้ว่าข้อนี้มันเกิน 1 สัปดาห์แล้ว ขอเฉลยดีกว่า

ANS

$ \frac{2^k-2}{k^k}$

สำหรับวิธีคิด ก็จะทำแบบตรงไปตรงมาเลยก็ได้ครับ หรืออาจจะ simplify $ \sum_{i=0}^k {n \choose i}{n \choose k-i} $ ก่อน ซึ่งจะได้คำตอบ

$$ \sum_{i=0}^k {n \choose i}{n \choose k-i} = {2n \choose k} $$

สำหรับค่าทางขวามือ และซ้ายมือ ก็คือการเลือกของ k สิ่ง จากของ 2n สิ่ง ใน 2 รูปแบบนั่นเอง โดยแบบขวา ก็ตรงไปตรงมาครับ ส่วนแบบซ้าย ก็คือ จะแบ่งของเป็น n กับ n ก่อน แล้วเลือก i สิ่งจาก n แรก ตามมาด้วย k-i สิ่งจาก n หลัง

แต่ที่ผมทิ้งท้ายไว้ในคำถามก่อนหน้า ไม่ได้เกี่ยวกับ simplify ที่ว่าหรอกครับ แต่ผมอยากให้ดูคำถาม 2 ข้อล่างนี้เทียบกันครับ

1. มีลูกอม k รส รสละ 20 ชิ้น ถ้าสุ่มเลือกออกมา k ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่ มีเพียง 2 รสเท่านั้น

2. มีลูกอม k รส รสละเท่าๆกันอยู่หลายชิ้น ถ้าสุ่มเลือกออกมา k ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่ มีเพียง 2 รสเท่านั้น

ผมทิ้งไว้ให้คิดเล่นๆแล้วกัน โดยผมคาดว่า คนที่ลองคิดแล้ว น่าจะเข้าใจ ประเด็นของ limit ที่ผมถาม

[Onasdi]

ผมลองคิดแล้ว แต่ไม่เข้าใจประเด็นครับ

[passer-by]

ไม่เป็นไรครับ งั้นเดี๋ยวผมเล่าให้ที่ไปที่มา เป็นฉากๆเลยแล้วกันนะครับ

จุดเริ่มต้นของคำถามข้อนี้ ผมได้มาจาก original question ที่ถามประมาณว่า

ถ้ามีลูกอม 5 รส แต่ละรสมีจำนวนชิ้นเท่าๆกัน (equal proportion) ถ้าสุ่มหยิบมา 5 ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกอม 2 รสเท่านั้น

ซึ่งวิธีคิดข้อนี้ เขาเฉลยมาว่า ขั้นแรก คือเลือก รส 2 รสนั้นก่อน ได้ $ {5 \choose 2}$ วิธี สมมติได้ รส A,B

จากนั้นก็พิจารณาว่า 5 ชิ้นที่หยิบได้ แล้วมี 2 รสนี้เท่านั้น จะมี $ 2^5-2 $ วิธี (2 ตัวแรกมาจาก 2 รสที่ว่าครับ ส่วน 2 ตัวหลัง ก็คือตัดกรณีที่ได้รส A หมด หรือ รส B หมด ออกไป)

ดังนั้น ความน่าจะเป็นข้อนี้เลยตอบ $ \frac{{5 \choose 2}(2^5-2)}{5^5}$


จากนั้น ผมก็เลยลองทำอีกแบบนึง โดยสมมติว่าแต่ละรสมีจำนวน n ชิ้นเท่าๆกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นก็คือ $$ \frac{{5 \choose 2}\sum_{i=1}^4 {n \choose i}{n \choose 5-i}}{{5n \choose 5}} $$

ซึ่งปรากฏว่า คำตอบมันไม่ตัดกันเป็นค่าคงที่ครับ แต่เมื่อ take limit $ n \rightarrow \infty $ ก็จะได้ค่าเท่ากับคำตอบข้างบน

ผมก็เลยสงสัยว่า มันมีนัยแฝง อะไร ถึงมี limit มาเกี่ยวข้อง จนกระทั่งตอนนี้ ผมคาดว่า มันน่าจะเหมือนในวิชาสถิติเบื้องต้นตอนปี1 มั้งครับ ที่เราสามารถใช้การแจกแจงทวินาม มา approx. การแจกแจงแบบ hypergeometric เมื่อ n มีค่ามาก

NOTE :ถ้าสังเกตดีๆ ที่ผมอธิบายมาข้างต้น เป็น special case เมื่อแทน k= 5 ในโจทย์ที่ผมให้มาครับ

[Onasdi]

ผมเจอข้อแตกต่างหลายจุดเลยครับ

อย่างแรก วิธีที่เฉลยทำตรง $ 2^5 $ กับ $ 5^5 $ เค้าเลือกอย่างมีลำดับการเลือกครับ เหมือนว่าเลือกไปให้คน 5 คน ซึ่งต่างกับการสุ่มมา 5 ชิ้นอย่างที่โจทย์ว่า

อีกอย่างที่เห็นคือ เค้าถือว่ารสเดียวกันทุกอันเหมือนกันครับ เพราะตรง $2^5$ อีกแล้ว
แต่ถ้าคิดแบบเลือกอย่างที่คุณ passer-by คิด ก็คือถือว่าทุกอันแม้จะรสเดียวกันก็ต่างกัน

เป็นจุดนี้รึเปล่าครับที่ทำให้คำตอบไม่ตรงกัน

[passer-by]

ที่คุณ Onasdi พูดมา นี่ใช่เลยครับ

เฉลยที่เขาให้มา ทำเหมือนกับว่าซื้อแจกให้คน 5 คน และมองว่า รสเดียวกัน คือเหมือนกัน

แต่โจทย์ก็ไม่ได้บอกว่า ซื้อแจกใครเลย

งั้นตอนนี้ limit นั่นก็คงไม่เกี่ยวกับ ทวินาม กับ hypergeometric

แล้วมันไปเท่ากันได้ไงล่ะเนี่ย

[Onasdi]

มันบังเอิญ หรือว่า มันมีเหตุผลซ่อนอยู่ ครับ? คนอื่นๆคิดยังไงกันบ้าง

[Timestopper_STG]

Hint(23) : sine

[passer-by]

(VERY EASY)

25. Evaluate $$ \sum_{ k=1}^{\infty} \frac{\left\lceil\ \sin(\ln k) \right\rceil - \left\lfloor\ \sin(\ln k)\right\rfloor}{2^k} $$