ใครมีข้อสอบ Pat 1 ของปีนี้ (ธันวาคม 2554)บ้างครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

จำนวนตั้งแต่ 1-15 สุ่มเลือกมา 5 ตัว มีกี่วิธีที่ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว

My_Solution

กรณีที่ 1. 0, 0, 0, 0, 0 เลือกได้ $\binom{5}{5} = 1$ วิธี
กรณีที่ 2. 0, 0, 0, 1, 2 เลือกได้ $\binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1} = 250$ วิธี
กรณีที่ 3. 0, 0, 1, 1, 1 เลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 100$ วิธี
กรณีที่ 4. 0, 0, 2, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 100$ วิธี
กรณีที่ 5. 0, 1, 1, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 500$ วิธี
กรณีที่ 6. 1, 1, 1, 1, 2 เลือกได้ $\binom{5}{4}\binom{5}{1} = 25$ วิธี
กรณีที่ 7. 1, 2, 2, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{4} = 25$ วิธี

รวม 1 + 250 + 100 + 100 + 500 + 25 + 25 = 1,001 วิธี

[PP_nine]

ผมชอบข้อนี้มากเลย ถ้าใครรู้จัก Cauchy Equation จะมองออกทันที

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

8. ให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สอดคล้องสมการ $$f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy$$ ทุกจำนวนนับ $x,y$ โดยที่ $f(1)=4$ จงหาค่าของ $f(20)$

Solution ธรรมดา

แทน $x=y$ ในสมการพบว่า $f(2x)=2f(x)+4x^2$

ดังนั้น $f(4x)=2f(2x)+16x^2=4f(x)+24x^2$

ทำให้ $f(20)=4f(5)+24 \cdot 25$ เก็บเอาไว้ก่อน

$f(5)=f(1)+f(4)+4(1)(4)=f(4)+20$

แต่ $f(4)=4f(1)+24(1)^2=40$ ดังนั้น $f(5)=60$

ตัวที่เก็บไว้ก็จะได้ต่อว่า $f(20)=240+600=840$ #

Solution โดยใช้สมการโคชี

สร้าง $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ นิยามโดย $g(x)=f(x)-2x^2$

จากสมการเดิมจึงได้ $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ดังนั้น $g(x)=cx$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{Z}$

ทำให้ $f(x)=2x^2+cx$ แล้วแทนเงื่อนไข $f(1)=4$ ได้ $f(x)=2x^2+2x$

ดังนั้น $f(20)=2(400)+2(20)=840$ #

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

4. บัตร 8 ใบได้แก่ [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] เลือกมา 4 ใบแล้วสร้างเป็นจำนวนเต็ม 4 หลักได้กี่วิธี

My_Solution

กรณีที่ 1. ABCD
$\binom{4}{4}\cdot 4!$ = 24

กรณีที่ 2. ABCC
$\binom{4}{1}\binom{3}{2}\cdot \frac{4!}{2!1!1!} = 144 $

กรณีที่ 3. AABB
$\binom{4}{2}\cdot \frac{4!}{2!2!}=36$

รวม 3 กรณี ได้ 24 + 144 + 36 = 204

[Ne[S]zA]

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x(\sqrt[3]{x+8}^2-\sqrt[3]{x+8}\sqrt[3]{x-8}+\sqrt[3]{x-8}^2)}{2x}=6$$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

จำนวนตั้งแต่ 1-15 สุ่มเลือกมา 5 ตัว มีกี่วิธีที่ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว

ใน 15 จำนวนนี้
มี 5 จำนวนที่ $\equiv 0 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ x มีค่า 0
มี 5 จำนวนที่ $\equiv 1 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ y มีค่า 1
มี 5 จำนวนที่ $\equiv 2 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ z มีค่า 2
กำหนด A ={x,y,z}
ให้ S = ผลบวกของ 5 จำนวนใดๆที่เลือกมาจากสมาชิกของ A ซึ่งทำให้ $3\mid S$

แจงกรณี

$1; S = 0 : x+x+x+x+x $

จะเลือกได้ $\binom{5}{5} $

$2; S = 3 : x+x+y+y+y, x+x+x+y+z$

จะเลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} + \binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1}$

$3; S = 6 : x+x+z+z+z, x+y+y+z+z, y+y+y+y+z$

จะเลือกได้รวม $\binom{5}{2}\binom{5}{3}+\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{2}+\binom{5}{4} \binom{5}{1}$

$4; S = 9 : y+z+z+z+z$

จะเลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{4}$

$\therefore$ วิธีทั้งหมดคือ $\binom{5}{5} +\binom{5}{2}\binom{5}{3} + \binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1} +\binom{5}{2}\binom{5}{3} +\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{2}+\binom{5}{4} \binom{5}{1} +\binom{5}{1}\binom{5}{4} = 1001 $วิธี

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

ข้อสามตอบ 4ป่าวครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3. สามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลำดับ โดยที่ $$(\sin A - \sin B + \sin C)(\sin A + \sin B + \sin C)=3 \sin A \sin C$$ แล้ว จงหาค่าของ $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B}$

My_Solution

$(\sin A + \sin C)^2 - \sin^2 B = 3\sin A \sin C$

$(ka+kc)^2-(kb)^2=3(ka)(kc)$

$a^2+2ac+c^2-b^2=3ac$

$b^2=a^2+c^2-ac$

แต่โดยกฎของโคไซน์ , $b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B$

ดังนั้น $\cos B = 1/2$

จึงได้ว่า $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B} = \sqrt{3(4/3)+3(4)} = \sqrt{16} = 4$

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

8. ให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สอดคล้องสมการ $$f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy$$ ทุกจำนวนนับ $x,y$ โดยที่ $f(1)=4$ จงหาค่าของ $f(20)$
ข้อนี้ถ้าแทนไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจาก
$$f(19+1)=f(19)+f(1)+4(19)(1)$$
$$f(18+1)=f(18)+f(1)+4(18)(1)$$
.
.
.
$$f(1+1)=f(1)+f(1)+4(1)(1)$$
แล้วจับทุกสมการมาบวกกันอ่ะ
จะได้$$f(20)=20f(1)+4(1)(1+2+3..+19)=80+760=840$$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 3 ใช้กฏของไซน์ดูครับ

[bell18]

จากโจทย์ ...จำนวนตั้งแต่ 1-15 สุ่มเลือกมา 5 ตัว มีกี่วิธีที่ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว

ข้อนี้คิดง่ายๆได้นะครับ เอา 15C5 หารด้วย 3 ก็ได้คำตอบแล้วครับ
เพราะผลบวกจะมีตั้งแต่ 15 ถึง 65 ซึ่งมี 51 แบบ แต่ที่ 3 หารลงตัวจะมี 17 แบบ คือ 15, 18, 21,...,51
จึงสามารถนำ 3 ไปหาร 15C5 ได้นั่นเองครับ

[bell18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

เอามาจากเพื่อนๆครับ รวมกับข้อแรกที่พี่ notty โพสของผมไป

10. ให้ $(a_n)$ เป็นลำดับเลขคณิตซึ่ง $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{201}=303$ แล้ว

จงหาค่าของ $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{200}$

ข้อนี้ก็เทียบ (100/101) คูณ 303 ก็ได้คำตอบ 300 แล้วครับ ง่ายมากๆเลย

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

เอามาจากเพื่อนๆครับ รวมกับข้อแรกที่พี่ notty โพสของผมไป
9. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการกระจายอย่างปกติ โดยมี $N$ จำนวน มัธยฐานเท่ากับ 12 และ S.D.=8 ถ้า $$\sum_{i=1}^{N} (x_i-10)^2=5440$$ จงหาจำนวนข้อมูล (เมื่อ $x_i$ คือข้อมูล)

ข้อนี้ได้80รึป่าวอ่ะครับ ใช้สูตรนิดเดียวก็ออกอ่ะครับ 3บรรทัด

[Ne[S]zA]

ข้อ 10)
$a_1+a_3+...+a_{201}=101a_1+10100d=303$
$a_2+a_4+...+a_{200}=100a_1+10000d=k$
$a_1+100d=303-k$
$\dfrac{a_1+a_{201}}{2}=303-k$
$\dfrac{101}{2}(a_1+a_{201})=101(303-k)$
$303=101(303-k)$
$ \therefore k=a_2+a_4+...+a_{200}=300$

[AK/Pain]

(tan20+4sin20)/(sin20sin40sin80) = 8

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

5. หาจำนวนจริง $x>0$ ซึ่ง
$$1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{(1+x)^2}+\frac{28}{(1+x)^2}+\cdots=\frac{27}{4}$$

My_Solution

$S = 1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{(1+x)^2}+\frac{28}{(1+x)^2}+\cdots ...(1)$

$\frac{S}{1+x} = \frac{1}{1+x}+\frac{6}{(1+x)^2}+\frac{15}{(1+x)^3}+\frac{28}{(1+x)^4}+\cdots ...(2)$

(1)-(2), $\frac{x}{1+x}S = 1+ \frac{5}{1+x} + \frac{9}{(1+x)^2} + \frac{13}{(1+x)^3 }+ \cdots ... (3)$

$\frac{x}{(1+x)^2}S = 1+\frac{5}{(1+x)^2} + \frac{9}{(1+x)^3} + \frac{13}{(1+x)^4}+ \cdot ... (4)$

(3)-(4), $\frac{x^2}{(1+x)^2}S = 1 + \frac{4}{1+x} + \frac{4}{(1+x)^2} + \frac{4}{(1+x)^3} + \cdots = 1+\frac{\frac{4}{1+x}}{\frac{x}{1+x}} = \frac{x+4}{x}$

ดังนั้น $S = \frac{x+4}{x}\cdot \frac{(1+x)^2}{x^2} = \frac{27}{4} = 3(\frac{3}{2})^2 \iff x = 2 $ เมื่อ $x > 0$