ใครมีข้อสอบ Pat 1 ของปีนี้ (ธันวาคม 2554)บ้างครับ

[sahaete]

ขอแสดงความเห็นเพิ่มเติม

\[\begin{array}{l}
f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 4xy\\
geuss \Rightarrow \quad f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\\
f\left( {x + y} \right) = a{\left( {x + y} \right)^2} + b\left( {x + y} \right) + c\\
\quad \quad \quad \quad = a{x^2} + 2axy + a{y^2} + bx + by + c\\
sub \Rightarrow \\
a{x^2} + 2axy + a{y^2} + bx + by + c = a{x^2} + bx + c + a{y^2} + by + c + 4xy\\
then \Rightarrow \quad a = 2,c = 0\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^2} + bx\\
\Rightarrow f\left( 1 \right) = 4\quad ,b = 2\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x
\end{array}\]

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

1. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $z=\Big( i-\dfrac{1}{2+i} \Big) ^{-1}$ จงหาค่าของ $|16z^2-8z+3-8i|$

$z=\Big( i-\dfrac{1}{2+i} \Big) ^{-1}$

$z= \dfrac{2+i}{2(i-1)} $

จะได้ $|8z(2z-1)+3-8i|$

$= |(\frac{8+4i}{i-1})(\frac{3}{i-1}) +3-8i|$

$= |4i-3| = 5$

[~ArT_Ty~]

$$\frac{\tan 20^\circ+4\sin20^\circ}{\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 80^\circ}=\frac{1+4\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}$$

$$=\frac{1+4\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ\frac{(\cos 40^\circ-\cos 120^\circ)}{2}}=\frac{1+4\cos 20^\circ}{\frac{\cos 20^\circ\cos 40^\circ}{2}+\frac{\cos 20^\circ}{4}}=\frac{1+4\cos 20^\circ}{\frac{\cos 60^\circ+cos 20^\circ}{4}+\frac{\cos 20^\circ}{4}}$$

$$=\frac{1+4\cos 20^\circ}{\frac{1}{8}+\frac{\cos 20^\circ}{2}}=8$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3. สามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลำดับ โดยที่ $$(\sin A - \sin B + \sin C)(\sin A + \sin B + \sin C)=3 \sin A \sin C$$ แล้ว จงหาค่าของ $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B}$

ทำเรขาได้เเล้ว
$$(\sin A - \sin B + \sin C)(\sin A + \sin B + \sin C)=3 \sin A \sin C$$ สมการสมมูลกับ $$\sin^2A+\sin^2C=\sin^2B+\sin A\sin C$$
โดย Sin Law ได้ว่า (ยัดในรูป $\sin A $ ซะ)
$$a^2+c^2=b^2+ca$$
เเละโดย Cos Law $$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$$
ได้ต่อไปอีกว่า $\cos B=\frac{1}{2},\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$
พิจารณา $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B}=\sqrt{3}/(\sin B\cos B)=4$ $\Psi $

[C H O]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ให้ $tan\theta =\frac{a}{b}$
และ $(\frac{cos\theta}{a})^4+(\frac{sin\theta}{b})^4=\frac{sin2\theta}{ab(a^2+b^2)} $
จงหาค่าของ $(\frac{3a}{b})^3+(\frac{b}{2a})^2$

ข้อนี้ผมได้สองคำตอบอะครับ คือ 27.25 และ -26.75
(คำตอบแรกได้จาก a=b อีกคำตอบได้จาก a=-b)

[banker]

4 หลัก
จัดได้ 4x3x2x1 = 24 จำนวน

ผลบวกหลักหน่วยเท่ากับ 60

ผลบวกหลักสิบเท่ากับ 600

ผลบวกหลักร้อยเท่ากับ 6000

ผลบวกหลักพันเท่ากับ 60000

ผลรวม 60+600+6000+60000 = 66660


สามหลัก ได้ 24 จำนวน

ผลบวกหลักหน่วยเท่ากับ 60

ผลบวกหลักสิบเท่ากับ 600

ผลบวกหลักร้อยเท่ากับ 6000

ผลรวม 60+600+6000 = 6660



สองหลัก ได้ 12 จำนวน

ผลบวกหลักหน่วยเท่ากับ 30

ผลบวกหลักสิบเท่ากับ 300

ผลรวม 30 +300 = 330


หนึ่งหลัก รวม 4 จำนวน

ผลรวมเท่ากัย 10


รวมจำนวนเต็มบวก 66660 +6660 + 330 +10 = 73660

73 660 หารด้วย 9 เหลือเศษ 4

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ขอแสดงความเห็นเพิ่มเติม

\[\begin{array}{l}
f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 4xy\\
geuss \Rightarrow \quad f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\\
f\left( {x + y} \right) = a{\left( {x + y} \right)^2} + b\left( {x + y} \right) + c\\
\quad \quad \quad \quad = a{x^2} + 2axy + a{y^2} + bx + by + c\\
sub \Rightarrow \\
a{x^2} + 2axy + a{y^2} + bx + by + c = a{x^2} + bx + c + a{y^2} + by + c + 4xy\\
then \Rightarrow \quad a = 2,c = 0\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^2} + bx\\
\Rightarrow f\left( 1 \right) = 4\quad ,b = 2\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x
\end{array}\]

เราสมมุติขึ้นมาได้ด้วยหรอครับ ตรง $ax^2+bx+c$

[lek2554]

#52

คุณลุง banker ครับ ข้อสอบที่ link ใน #7 เป็นข้อสอบเดือนมีนาคม 2554 ครับ

ไม่ใช่ที่เพิ่งสอบเมื่อวันเสาร์ ที่ 25 ธันวาคม ที่ผ่านมาครับ

[PP_nine]

โอยยย ขอโทษนะครับทุกคนน พี่ notty เป็นคนรู้จักผมเอง เค้าเพิ่งมาเล่น

เดี๋ยวผมจะบอกเค้าให้ไปลบเดี๋ยวนี้แหละ ขอโทษนะครับ อายแทน

[nottynotty]

ได้ข่าวแว่วๆมาว่าจะไม่มีการประกาศข้อสอบ (จริงหรือเท็จยังไม่รู้)

ถ้างั้นผมขอรวบรวมโจทย์ใหม่ละกัน โดยผมจะเติมส่วนที่ขาดตกบกพร่องไปให้โจทย์สมบูรณ์นะครับ

เรียงตามโพส (มีข้อใหม่คือข้อ 17, 18 นะคับ)
_________________________________________________________________________

1. กำหนดลำดับ $(a_n)$ ซึ่ง $a_1=1$ และ $a_n=(-1)^n \log_n \dfrac{1}{2} \cdot \log_{n-1} \dfrac{1}{3} \cdot ... \cdot \log_2 \dfrac{1}{n}$

และกำหนดลำดับ $(b_n)$ ซึ่ง $$b_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^4+k^2+1}$$

จงหาจำนวนจริง $c$ ที่ทำให้ $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n+cb_n)=4$
_________________________________________________________________________

2. กำหนดจำนวนจริงบวก $a,b,\theta$ โดยที่ $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} $ ซึ่ง $\tan\theta=\dfrac{a}{b}$ และ

$\Big( \dfrac{\cos\theta}{a} \Big)^4+\Big( \dfrac{\sin\theta}{b} \Big)^4=\dfrac{\sin 2\theta}{ab(a^2+b^2)}$ แล้ว จงหาค่าของ $\Big( \dfrac{3a}{b} \Big)^3+\Big( \dfrac{b}{2a} \Big)^2$
_________________________________________________________________________

3. จงหาจำนวนวิธีเลือกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1-15 มา 5 จำนวนโดยที่ผลบวกหารด้วย 3 ลงตัว
_________________________________________________________________________

4. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $z=\Big( i-\dfrac{1}{2+i} \Big) ^{-1}$ จงหาค่าของ $|16z^2-8z+3-8i|$
_________________________________________________________________________

5. หาค่าของ $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8}}$$
_________________________________________________________________________

6. สามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลำดับ โดยที่

$(\sin A - \sin B + \sin C)(\sin A + \sin B + \sin C)=3 \sin A \sin C$ แล้ว

จงหาค่าของ $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B}$
_________________________________________________________________________

7. บัตร 8 ใบได้แก่ [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] เลือกมา 4 ใบแล้วสร้างเป็นจำนวนเต็ม 4 หลักได้กี่วิธี
_________________________________________________________________________

8. หาจำนวนจริง $x>0$ ซึ่ง $1+\dfrac{6}{1+x}+\dfrac{15}{(1+x)^2}+\dfrac{28}{(1+x)^2}+\cdots=\dfrac{27}{4}$
_________________________________________________________________________

9. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน มีมัธยฐานเท่ากับฐานนิยมเท่ากับ 15 ค่าเฉลี่ยเท่ากับ 16 ควอไทล์ที่ 1 เท่ากับ 14 พิสัยเท่ากับ 7 จงหาความแปรปรวน
_________________________________________________________________________

10. การสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉลี่ย 25 ความแปรปรวน 6.25 ถ้านาย A ได้คะแนน 30 ทำให้มีค่ามาตรฐานมากกว่านาย B อยู่ 0.8 แล้วนาย B ได้คะแนนเท่าใด
_________________________________________________________________________

11. ให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สอดคล้องสมการ $f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy$ ทุกจำนวนนับ $x,y$

โดยที่ $f(1)=4$ จงหาค่าของ $f(20)$
_________________________________________________________________________

12. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการกระจายอย่างปกติ โดยมี $N$ จำนวน มัธยฐานเท่ากับ 12 และ S.D.=8 ถ้า $$\sum_{i=1}^{N} (x_i-10)^2=5440$$ จงหาจำนวนข้อมูล (เมื่อ $x_i$ คือข้อมูล)
_________________________________________________________________________

13. ให้ $(a_n)$ เป็นลำดับเลขคณิตซึ่ง $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{201}=303$ แล้ว

จงหาค่าของ $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{200}$
_________________________________________________________________________

14. จงหาค่าของ $\dfrac{\tan 20^{\circ}+4\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}}$
_________________________________________________________________________

15. กำหนดพิกัดจุด $A,\, B,\, C$ เป็น $A(3,0),\, B(3+\sqrt{3},1),\, C(a,b)$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $C(a,b)$ อยู่ในควอดแรนต์ที่ 4

ถ้า $\overrightarrow{AB}$ ทำมุม $60^{\circ}$ กับ $\overrightarrow{AC}$ และ $| \overrightarrow{AC} |=2\sqrt{3}| \overrightarrow{AB} |$ แล้ว จงหาค่าของ $a^2+b^2$
_________________________________________________________________________

16. หาจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $\dfrac{1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2}{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + (n-1) \cdot n}=\dfrac{231}{228}$
_________________________________________________________________________

17. หารากสมการ $arc\cot \dfrac{1}{2x} + arc\cot \dfrac{1}{3x} = \dfrac{\pi}{4}$
_________________________________________________________________________

18. ฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ นิยามโดย $f(x)=x^{2/3}$ ถ้าจำนวนจริง $a>0$ ทำให้เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส $f(x)$

ณ จุด $(a,f(a))$ ตัดแกน $y$ ที่ระยะ $\dfrac{5}{2}$ แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด (โจทย์จริงถามว่าจุดใดอยู่บนเส้นตรงนี้ แต่จำช้อยส์ไม่ได้)
_________________________________________________________________________

ปล. โทษคับน้อง PP 555+

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 ได้ $\frac{325}{4}$ หรือเปล่าครับ??

[nottynotty]

ข้อสองผมพิมพ์เกินนะครับ ต้องเป็น $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$

ได้ a=b นะครับ จัดรูปดีๆแล้ว ตอบ 27.25 คับ

[~ArT_Ty~]

ใช่ครับๆ คิดเลขผิด สะเพร่า TT

[nottynotty]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ผมว่ามันน่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้
หาค่าของ $AB=2$ ได้ว่า $AC=4\sqrt{3}$ โดย กฏของ cosine จะได้ว่า $BC=\sqrt{52-8\sqrt{3}}$
หาระยะทางระหว่างจุด $A$ กับ $C$ และ $B$ กับ $C$ ได้สมการ
$$(a-3)^2+b^2=48$$
$$(a-3-\sqrt{3})^2+(b-1)^2=52-8\sqrt{3}$$
แก้ได้ $(a,b)=(3,4\sqrt{3}),(9,-2\sqrt{3})$ แต่ $(a,b)$ ต้องอยู่ใน $Q1$ เพราะ $AC$ ทำมุม $60^{\circ}$ กับ $AB$ ดังนั้น $a=3$ และ $b=4\sqrt{3}$
เพราะฉะนั้น $a^2+b^2=9+48=57$

ข้อเวคเตอวิธีนี้น่าจะดีกว่านะ

จากพิกัดที่กำหนด ได้ว่า $\overrightarrow{AB}=\sqrt{3} \bar i+\bar j$ และ $\overrightarrow{AC}=(a-3) \bar i+b \bar j$

แต่ $| \overrightarrow{AB} |=2$ ดังนั้น $|\overrightarrow{AC}|=4\sqrt{3}$ ได้สมการแรกเป็น $(a-3)^2+b^2=48$

และจากที่ $\overrightarrow{AB}$ ทำมุม $60^{\circ}$ กับ $\overrightarrow{AC}$ จึงได้ว่า $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| \cos 60^{\circ}$

จัดรูปสมการได้เป็นสมการที่สองคือ $a\sqrt{3}+b=7\sqrt{3}$

ได้ $b=\sqrt{3} (7-a)$ แทนลงไปในสมการแรกเป็น $(a-3)^2+3(a-7)^2=48$

แก้สมการกำลังสองได้ $a=3,9$ ทำให้ได้ $(a,b)=(3,4),(9,-2\sqrt{3})$

แต่ $C(a,b)$ อยู่ในควอดแรนต์ที่ 4 นั่นคือเป็นได้แค่ $C(9,-2\sqrt{3})$

$a^2+b^2=81+12=93$

ปล. ได้แนวคิดมาจาก PP_nine คับ

[Euler-Fermat]

ข้อ 16
$1^2 + 2^2 +... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$พิจารณา 1x2 + 2x3 +3X4 +...+(n-1)n$
$a_n = (n-1)n$
$S_n = \sum_{k = 1}^{n} n^2 - n$
= $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -\frac{3n(n+1)}{6}$
= $\frac{n(n+1)(n-1)}{3}$
จะได้ $\frac{1^2 + 2^2 +... + n^2}{1x2 + 2x3 +3X4 +...+(n-1)n}$
= $\frac{n(n+1)(2n+1)}{n(n+1)(2n-2)}$
= $\frac{2n+1}{2n-2} = \frac{231}{228}$
$จะได้ 2n+1 = 231$
$n = 115$