ใครมีข้อสอบ Pat 1 ของปีนี้ (ธันวาคม 2554)บ้างครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nottynotty

18. ฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ นิยามโดย $f(x)=x^{2/3}$ ถ้าจำนวนจริง $a>0$ ทำให้เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส $f(x)$

ณ จุด $(a,f(a))$ ตัดแกน $y$ ที่ระยะ $\dfrac{5}{2}$ แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด (โจทย์จริงถามว่าจุดใดอยู่บนเส้นตรงนี้ แต่จำช้อยส์ไม่ได้)

ลองเล่นๆนะครับไม่รู้ได้ป่าว
Sol_n จะได้ความชันของเส้นสัมผัส $$m=f^'(a)=\frac{2}{3a^3}$$
เเละได้สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่สัมผัสคือ $$y=-\frac{3a^3}{2}x+\frac{5}{2}$$
เเทนค่า (จาก $(a,f(a))$ เป็นจุดหนึ่งในนั้น)
ได้ว่า $$2a^{2/3}=-3a^4+5\leftrightarrow (a^{2/3}-1)(3a^{10/3}+3a^{8/3}+3a^{2}+3a^{4/3}+3a^{2/3}+5)=0$$
เเต่ $3a^{10/3}+3a^{8/3}+3a^{2}+3a^{4/3}+3a^{2/3}+5>0$ เพราะ $a>0$
ดังนั้น $a=1$ #

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nottynotty

17. หารากสมการ $arc\cot \dfrac{1}{2x} + arc\cot \dfrac{1}{3x} = \dfrac{\pi}{4}$

มั่วไปมั่วมาได้เเบบนี้
วาดรูป $\Delta ABC$เเละ $\Delta ADC$ ทับกันที่จุด $C$ เป็นมุมฉาก ให้ $\angle ABC=\theta_1,\angle ADC=\theta_2$
เเละกำหนดความยาว $AC=x,BC=1/3,CD=1/2$ จะสอดคล้องกับโจทย์ (ได้ $\theta_1+\theta_2=\pi/4$)
ทำให้ได้ว่า $\tan\theta_1=3x,\tan\theta_2=2x$
จากสมการ $$\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{4}\therefore \tan(\theta_1+\theta_2)=1$$
$$\tan\theta_1+\tan\theta_2=1-\tan\theta_1\tan\theta_2\leftrightarrow 3x+2x=1-6x^2\leftrightarrow (6x-1)(x+1)=0$$
ดังนั้น $x=1/6,-1$ #

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

มั่วไปมั่วมาได้เเบบนี้
วาดรูป $\Delta ABC$เเละ $\Delta ADC$ ทับกันที่จุด $C$ เป็นมุมฉาก ให้ $\angle ABC=\theta_1,\angle ADC=\theta_2$
เเละกำหนดความยาว $AC=x,BC=1/3,CD=1/2$ จะสอดคล้องกับโจทย์ (ได้ $\theta_1+\theta_2=\pi/4$)
ทำให้ได้ว่า $\tan\theta_1=3x,\tan\theta_2=2x$
จากสมการ $$\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{4}\therefore \tan(\theta_1+\theta_2)=1$$
$$\tan\theta_1+\tan\theta_2=1-\tan\theta_1\tan\theta_2\leftrightarrow 3x+2x=1-6x^2\leftrightarrow (6x-1)(x+1)=0$$
ดังนั้น $x=1/6,-1$ #

$x = -1$ ใช้ไม่ได้ครับ.

เพราะว่า ถ้า $x = -1$ แล้วจะได้ว่า

$arccot (1/2x) + arccot(1/3x) $

$= arccot(-1/2) + arccot(-1/3)$

$= [\pi - arccot(1/2)] + [\pi - arccot(1/3)]$

$= 2\pi - [(arccot(1/2) + arccot(1/3)]$

$= 2\pi -[arctan (2) + arctan (3)]$

$=2\pi - [\pi + arctan \frac{2+3}{1-(2)(3)}]$

$= \pi - arctan(-1)$

$= \pi + \pi/4 $

$\not= \pi/4$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

#52

คุณลุง banker ครับ ข้อสอบที่ link ใน #7 เป็นข้อสอบเดือนมีนาคม 2554 ครับ

ไม่ใช่ที่เพิ่งสอบเมื่อวันเสาร์ ที่ 25 ธันวาคม ที่ผ่านมาครับ

ขอบคุณครับ

(มาฝึกทำ แล้วเอาไปติวหลานได้ด้วย)

[art_clex]

บัตร 8 ใบได้แก่ [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] เลือกมา 4 ใบแล้วสร้างเป็นจำนวนเต็ม 4 หลักได้กี่วิธี
ขั้นตอน คือ หยิบ --> เรียงเป็นตัวเลข (ตอนเลือกไพ่มาสี่ใบจากแปดใบถือว่าไพ่ทั้งแปดใบต่างกันหมด แต่ตอนจัดเรียงเป็นเลขสี่หลักเราถือว่าเลขถ้าซ้ำกันถือว่าเหมือนกัน)
case1 : หยิบมาสี่ใบต่างกันหมด
2x2x2x2 วิธีสำหรับการหยิบแบบนี้ แล้วจากนั้นจึงนำไปจัดเรียงได้ 4!
ดังนั้นจึงได้ทั้งหมด 2x2x2x2x4!
case2 : หยิบมาสี่ใบ เหมือนกัน 1 คู่ เลือกว่าจะหนึ่งคู่จากไพ่ที่เหมือนกัน ก่อนจากสี่คู่ C(4,1) แล้วเลือกอีกสองจากที่เหลือ C(3,2) แล้วที่เลือกมาหยิบมากองละใบ แล้วนำไปจัดเรียง ได้ 4! แต่เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำ กันสองตัวจึงหารด้วย 2!
{C(4,1)xC(3,2)x2x2}x4!/2!
case3 : หยิบมาสี่ใบ เหมือนกัน 2 คู่ เลือกหยิบมา 2 คู่ C(4,2) แล้วนำไปจัดเรียง
C(4,2)x(4!/(2!2!))
คำตอบ = case1+case1+case3
(น่าจะประมาณนี้ ช่วยเช็คให้หน่อยนะครับ)

[Euler-Fermat]

#61
ทำไม $f'(a) = \frac{2}{3a^3}$ อะครับ
ไม่ใช่ $\frac{2}{3a^\frac{1}{3} }$ หรอครับ

[TimeTimeFruit]

รวบรวมมาได้ 41 ข้อครับ
.........................................................
ทีแรกพิมพ์ข้อ 23 ผิดนิดหน่อย , ลิ้งก์ที่แก้ไขแล้วครับ
http://www.mediafire.com/?cgrfw80e2wcw1ec

[PoomVios45]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

รวบรวมมาได้ 41 ข้อครับ
http://www.mediafire.com/download.php?ynbx0sldi1c7ilk

Thanks a lot sir .......

[yellow]

ขอบคุณ คุณ Time TimeFruit ครับ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

รวบรวมมาได้ 41 ข้อครับ
http://www.mediafire.com/download.php?ynbx0sldi1c7ilk

ขอบคุณครับ

[-Math-Sci-]

#67 ขอบคุณจากใจเลยครับ

ทั้งพี่ PP nine และ พี่ Timetimefruit และ พี่ Eng_gim

[sahaete]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

เราสมมุติขึ้นมาได้ด้วยหรอครับ ตรง $ax^2+bx+c$

สมการเชิงฟังก์ชัน \[f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\]
มีคำตอบของฟังก์ชันเป็น \[f\left( x \right) = cx\] ซึ่งเป็นดีกรีหนึ่ง
ครับ

[Real Matrik]

#67 ขอบคุณมากๆครับ

[lek2554]

ขอบคุณ น้อง TimeTimeFruit , PP_nine , Eng_gim มากครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

รวบรวมมาได้ 41 ข้อครับ
http://www.mediafire.com/download.php?ynbx0sldi1c7ilk

ใครโหลดไปแล้วแก้ข้อ 23 ด้วยนะครับ

สำหรับ $x \not= -1$, $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$