Challenge #2: extremities with 55555

[nongtum]

ตามคำแนะนำของคุณ Nooonuii ผมเลยยก Challenge ใหม่ที่โพสต์ในกระทู้เก่ามาตั้งเป็นกระทู้ใหม่ดังนี้ครับ

Next Challenge:
มีห้าอยู่ห้าตัว จงสร้างจำนวนจริงบวกที่ i) น้อยที่สุด ii) มากที่สุด โดยที่
คำตอบควรอยู่ในรูป \(term=A\times10^n, 1\le\ A<10,\ n\ เป็นจำนวนเต็ม\) และ

1. Allowed Operation: บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง(เลขชี้กำลังเป็นลบได้) ถอดรากที่สอง(ใช้รากซ้อนรากได้) หรือถอดรากที่ 5ⁿ (n ค้องไม่ฝ่ากฎข้ออื่น)
2. ห้ามเขียน 1/5 หรือ 5^-1 (เพราะมีเลขหนึ่ง) และห้ามเขียนเป็นทศนิยม เช่น 0.5 (เพราะมีเลขศูนย์) 5.55 (เป็นทศนิยม) แต่หลังเครื่องหมายเท่ากับอันแรกสามารถใช้เลขทศนิยมได้
3. ใช้ 5 ทั้งห้าตัวได้เป็นเพียงเลขโดดเท่านั้น (ห้ามใช้เลขฐานสิบ เช่น 55=50+5 หรือ เลขฐานต่างๆ)
4. ใช้ factorial ได้สูงสุดครั้งเดียว
5. ห้ามใช้ฟังก์ชันอดิศัยต่างๆโดยตรง (exp, trigonometric function, \(\pi\), etc...) ในการปั่นเลข แต่หากฟังก์ชันเหล่านี้เป็นผลมาจากการคำนวณด้วยเลขห้า(หลัง =)สามารถใช้ได้ครับ
6. หากใช้ฟังก์ชันหรืออะไรอื่นๆที่พิสดารเกินกว่าจะคิดตามได้ด้วยเครื่องคิดเลข(ไม่นับคอมพิวเตอร์) ช่วยขยายความ แสดงวิธีทำ หรือพิสูจน์สั้นๆด้วยครับ
ที่เหลือตามใจชอบครับ (ขอมากไปไหมนี่) ๕๕๕๕๕

Edit1: แก้ไขและเพิ่มเติมโจทย์ครับ ^_^

[warut]

ผมว่าถ้าทำตามกฎของคุณ nongtum ไม่น่าจะมีตัวที่มากที่สุดนะครับ ลองพิจารณา\[\frac{5}{5\left(\sqrt{\cdots\sqrt{\sqrt5}}-\frac{5}{5}\right)}\]จะเห็นว่าเราสามารถทำให้มันมีค่ามากแค่ไหนก็ได้ ขึ้นอยู่กับจำนวน square roots ที่ใส่ลงไป ทำนองเดียวกันจึงไม่มีตัวที่น้อยที่สุดด้วยครับ

[nongtum]

Oh Oh... โดนคุณ warut แย้งเข้าไปที ถึงกะพูดไม่ออกเลยครับ (จริงด้วย ลืมคิดถึงตรงนี้ไปเลย นับถือๆ)
เอาเป็นว่าขอเพิ่ม/แก้กติกาอีกเล็กน้อยละกันครับ

1'. เพื่อไม่ให้เกิดเหตุการณ์ดังที่คุณ warut กล่าวมาข้างต้น กระบวนการที่ทำซ้อนๆกันได้ เช่น ถอดรากที่สอง ให้จำกัดสูงสุดอยู่ที่ 5 ครั้งเท่านั้น
7. จำนวนที่หาได้ ไม่จำเป็นต้องมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด แต่หากคิดว่าวิธีการได้จำนวนนั้นมาน่าสนใจและมีความสวยงามในตัว น่านำเสนอ และไม่ซ้ำกับของเดิมในกระทู้เก่า ก็โพสต์มาได้ครับ

การเพิ่มข้อจำกัด 1' อาจทำให้โจทย์เสียรูปตามความตั้งใจเดิมไปพอสมควร แต่ที่สำคัญตรงนี้คือแนวคิดครับ ไม่ใช่ค่าของจำนวน หากยังมีข้อขัดแย้งอยู่ก็บอกได้ครับ ยินดีแก้/เพิ่มเงื่อนไข เสมอครับ

[nooonuii]

ผมขอเสนอ

\( \Huge{(5!)^{5^{5^{5^5}}}} \)

เข้าประกวดครับ เอ่อจะให้คำนวณค่าเป็นเลขฐานสิบจริงเหรอครับ

[warut]

ดูเหมือนว่าไม่น่าจะมีอะไรที่มากไปกว่า (5^5^5^5^5)! ได้นะครับ

ส่วนตัวที่น้อยที่สุดนี่รู้สึกว่าจะหายากกว่า เท่าที่คิดได้ตอนนี้คือ 5^(-(5^5^5^5)!)

จากการพยายามแปลงเป็นฐานสิบ ผมหาได้ว่า

10^10^10^10^2184 < (5^5^5^5^5)! < 10^10^10^10^2185 และ

10^(-(10^10^10^2185)) < 5^(-(5^5^5^5)!) < 10^(-(10^10^10^2184)) ครับ

[warut]

รู้สึกว่าผมจะคิดผิดอีกแล้วล่ะครับ หมู่นี้คิดผิดบ่อยจัง ดวงไม่ดีเลย (โทษดวง ) ข้อนี้ยากกว่าที่ผมคาดไว้เยอะแฮะ (5^5^5^5^5)! คงไม่ใช่ตัวที่มากสุดแล้วล่ะ อย่างน้อย 5^((5^5^5^5)! ) ก็คงมากกว่า ตอนนี้ผมเลยมึนครับ ถ้าให้เดาก็คงเลือก (5^5)^((5^5^5)!) ไปก่อน แต่ก็มีตัวอื่นที่น่าสนใจ เช่น (5^5^5)^((5^5)!) ส่วนตัวน้อยสุดนี่ยังไม่ได้คิดเลยครับ ผมว่าข้อนี้ไม่น่าจัดอยู่ในกลุ่มปัญหาคณิตศาสตร์ประถมศึกษาเลยนะครับ

[nooonuii]

อืมยากครับ เพราะตอนนี้ดูเหมือนว่าเรากำลังเล่นอยู่กับจำนวนที่มีขนาดใหญ่มากๆครับ

ปัญหาจึงลดลงมาอยู่ที่ว่า เราจะใส่ ! และ ( ) ใน
\( \Huge{5^{5^{5^{5^5}}}} \)
ตรงไหนดีถึงจะได้ค่ามากที่สุด ผมว่าแค่นี้ก็น่าจะคิดหนักกันไปหลายวันนะครับ