อสมการ

[Erken]

ให้ $a,b,c,d \in R^+$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac {a^4}{(a^2 + b^2)(a + b)} + \frac {b^4}{(b + c)(b^2 + c^2)} + \frac {c^4}{(c^2 + d^2)(c + d)} + \frac {d^4}{(d^2 + a^2)(a + d)} \geq \frac {a + b + c + d}{4}$$

[dektep]

จาก $$\sum_{cyclic}\frac{b^4-a^4}{(a^2+b^2)(a+b)}=0$$
ให้ $$S = \sum_{cyclic}\frac{a^4}{(a^2+b^2)(a+b)}$$
$$\therefore 2S = \sum_{cyclic}\frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)} $$
$$\geq \sum_{cyclic}\frac{a+b}{4} =\frac{a+b+c+d}{2}$$
$$\therefore S \geq \frac{a+b+c+d}{4} $$

[dektep]

อสมการนี้ก็จริงครับ
ให้ $a,b,c,d > 0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyclic}\frac {a^4}{(a^2 + b^2)(a + b)} \geq \frac {\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}{2}$$

[Uranus Hunter]

แล้วอสมการที่คุณ dektep ให้มามันพิสูจน์ยังไงเหรอครับ