ข้อสอบตรีโกณน่าสนใจดีครับ

[PURE MATH]

ลองช่วยกันเฉลยดูนะครับ _/\_

[กิตติ]

ขอบคุณครับ ยาวหลายหน้าอย่างนี้ คงหลายเดือนกว่าจะทำหมด

[PURE MATH]

555 ครับผม

[gon]

1. จงพิสูจน์ว่า $$\cos\frac{2\pi}{13} + \cos\frac{6\pi}{13} + \cos\frac{8\pi}{13} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$$

secret_solution

ให้ $cn$ แทน $\cos\frac{n\pi}{13}$

ขั้นที่ 1. แสดงได้ไม่ยากว่า $c2 + c4 + c6 + c8 + c10 + c12 = -\frac{1}{2}$

ขั้นที่ 2. ให้ $a = c2 + c6 + c8 , b = c4 + c10 + c12$ จะแสดงว่า $ab = -\frac{3}{4}$

(โดยอาศัยขั้นที่ 1.)

จะได้ $2ab = c6 + c2 + c12 + c8 + c14 + c10 + ... + c4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} -\frac{1}{2}$ ดังนั้น $ab = -\frac{3}{4}$

จากขั้นที่ 1, 2 แสดงว่า $a, b$ เป็นรากของสมการ $x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = 0$

จะได้ $x = \frac{\pm\sqrt{13}-1}{4}$

แต่เนื่องจากในจตุภาคที่ 1, 2 ฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันลด แสดงว่า

$c2 > c4, c6 >c10, c8 > c12$

ดังนั้น $a = c2 + c6 + c8 = \frac{\sqrt{13}-1}{4} = c2 + c6 + c18$

และ $b = c4 + c10 +c12 = \frac{-\sqrt{13}-1}{4} = -c9 - c3 - c1$

สรุปได้ว่า $$\cos\frac{2\pi}{13} + \cos\frac{6\pi}{13} + \cos\frac{18\pi}{13} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$$
และ $$\cos\frac{\pi}{13} + \cos\frac{3\pi}{13} + \cos\frac{9\pi}{13} = \frac{\sqrt{13}+1}{4} $$