หารพหุนาม

[party]

ช่วยเฉลยโจทย์นี้หน่อยครับ x^2552+x^2009+1 หารด้วย x^2-1 เหลือเศษเท่าไหร่ครับ (^=ยกกำลัง)

[poper]

ให้ $P(x)=x^{2552}+x^{2009}+1$ และเศษ$=ax+b$
ดังนั้น $P(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b$
$P(1)=a+b=3$---(1)
$P(-1)=-a+b=1$---(2)
จาก (1) และ (2)
$a=1,b=2$ เศษคือ $x+2$

[nooonuii]

มองว่า $x^2=1$ ดังนั้น $x^{2552}+x^{2009}+1=1+x+1=x+2$

[กิตติ]

ขอจำกระบวนท่านี้ของคุณnooonuiไปใช้ครับ

[poper]

ท่าน nooonuii สุดยอดครับ

[หยินหยาง]

เพื่อทดสอบความเข้าใจและนำไปใช้อย่างแคล่วคล่อง ลองเปลี่ยนตัวหารเป็น $x^2+x+1$ แล้วจะเหลือเศษเท่าไร

[poper]

เศษ 3 รึเปล่าครับ

[polsk133]

วิธีใหม่เลยครับท่านnooonuii

[Euler-Fermat]

ผมได้ $-2x-1$ เดามั่วฮะ 555+

[poper]

ได้ $-2x-1$ จริงด้วยครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เพื่อทดสอบความเข้าใจและนำไปใช้อย่างแคล่วคล่อง ลองเปลี่ยนตัวหารเป็น $x^2+x+1$ แล้วจะเหลือเศษเท่าไร

แบบนี้หรือเปล่าครับ ท่านซือแป๋

$\dfrac{x^{2552}+x^{2009}+1)(x-1)}{(x^2+x+1)(x-1)}=\dfrac{x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1}{x^3-1} $

เลียนแบบท่าน nooonuii

มองว่า $x^3=1 ; x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1 = 1+1+x-x^2-x^2-1=-2x^2+x+1$

ดังนั้นเศษจากการหาร $\dfrac{x^{2552}+x^{2009}+1}{x^2+x+1}$

จึงเท่ากับเศษจากการหาร $\dfrac{x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1}{x^3-1} $

เท่ากับเศษจากการหาร $\dfrac{-2x^2+x+1}{x^3-1}= \dfrac{-2x^2+x+1}{x^3-1}= \dfrac{-(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{-(2x+1)}{x^2+x+1}$

$= -2x-1$

............................................................................................................................
ความจริงแล้ววิธีการของท่าน nooonuii ก็คือการเปลี่ยนตัวแปร เพื่อให้ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง สมมติ $a=x^3$

ที่ผ่านมา ผมก็ทำแบบนี้ แต่ถ้าแทนตรงๆ เลขชี้กำลังของ $a$ จะเป็นเศษส่วน ไม่เป็นพหุนาม

จึงต้องหันไปใช้ทฤษฎี ตัวตั้ง = ตัวหาร$\times $ผลหาร + เศษ

เพิ่งได้ความรู้จาก ท่าน nooonuii ว่าเราสามารถมอง $x$ ให้เป็นค่าคงตัวได้

ผมเข้าใจถูกไหม๊ครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

แบบนี้หรือเปล่าครับ ท่านซือแป๋

$\dfrac{x^{2552}+x^{2009}+1)(x-1)}{(x^2+x+1)(x-1)}=\dfrac{x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1}{x^3-1} $

เลียนแบบท่าน nooonuii

มองว่า $x^3=1 ; x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1 = 1+1+x-x^2-x^2-1=-2x^2+x+1$

ดังนั้นเศษจากการหาร $\dfrac{x^{2552}+x^{2009}+1}{x^2+x+1}$

จึงเท่ากับเศษจากการหาร $\dfrac{x^{2553}+x^{2010}+x-x^{2552}-x^{2009}-1}{x^3-1} $

เท่ากับเศษจากการหาร $\dfrac{-2x^2+x+1}{x^3-1}= \dfrac{-2x^2+x+1}{x^3-1}= \dfrac{-(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{-(2x+1)}{x^2+x+1}$

$= -2x-1$

ไม่จำเป็นต้องคูณ $(x^{2552}+x^{2009}+1)(x-1)$ ครับ เอา $x^3-1$ ไปหาร $x^{2552}+x^{2009}+1$ เลย
มอง $x^3=1$ ได้เศษ $x^2+x^2+1=2x^2+1$
แล้วหารเศษต่อด้วย $x^2+x+1$ โดยการมอง $x^2=-x-1$ ได้ $2(-x-1)+1=-2x-1$

[lek2554]

ขอบคุณครับ คุณ Onasdi

ปล. สวัสดีครับ หายไปนานเลยครับ เพิ่งเห็นเข้ามาไม่กี่วันที่ผ่านมา

[Onasdi]

สวัสดีครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

............................................................................................................................
ความจริงแล้ววิธีการของท่าน nooonuii ก็คือการเปลี่ยนตัวแปร เพื่อให้ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง สมมติ $a=x^3$

ที่ผ่านมา ผมก็ทำแบบนี้ แต่ถ้าแทนตรงๆ เลขชี้กำลังของ $a$ จะเป็นเศษส่วน ไม่เป็นพหุนาม

จึงต้องหันไปใช้ทฤษฎี ตัวตั้ง = ตัวหาร$\times $ผลหาร + เศษ

เพิ่งได้ความรู้จาก ท่าน nooonuii ว่าเราสามารถมอง $x$ ให้เป็นค่าคงตัวได้

ผมเข้าใจถูกไหม๊ครับ

รอท่าน nooonuii มาเฉลยดีกว่า เพราะของแท้

อันที่จริงโจทย์ลักษณะนี้และวิธีแบบนี้ก็มีทำกันและถามกันบ้างในกระทู้เก่าๆ ลองค้นดูครับ ยังมีโจทย์เกี่ยวกับการหาร

พหุนามอื่นที่มีวิธีที่แตกต่างจากนี้ เช่น ถ้าหารด้วย $(x^2-1)^2$ หรือ $(x^3-1)^3$ แล้วเศษเหลือเท่าไรดีครับ