ตั้งไข่ มาราธอน

[banker]

ข้อนี้เล็งๆด้วยสัญชาติญาณ x> 1 x ก็น่าจะเท่ากับ 2

มาลองทำดู

ให้ $\sqrt{x-1} = a $

$x = a^2+1$

$x^2 = (a^2+1)^2$


$\dfrac{x^2}{x-1} +\sqrt{x -1} + \dfrac{\sqrt{x -1} }{x^2} = \dfrac{x-1}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x-1} } + \dfrac{x^2}{\sqrt{x-1} }$

$\dfrac{(a^2+1)^2}{a^2} + a + \dfrac{a}{(a^2+1)^2} = \dfrac{a^2}{(a^2+1)^2} + \dfrac{1}{a} +\dfrac{(a^2+1)^2}{a}$

$\dfrac{(a^2+1)^4 +a(a^2+1)^2 +a^3}{a^2(a^2+1)^2} = \dfrac{a^3 +(a^2+1)^2 +(a^2+1)^4}{a(a^2+1)^2}$

$(a^2+1)^4 +a(a^2+1)^2 +a^3 = a^4 +a(a^2+1)^2+a(a^2+1)^4$

$ (a-1) \left(a^3+(a^2+1)^4 \right) = 0$

$a-1 = 0 \to a =1 \to \sqrt{x-1} = 1 \to x =2 $

ค่าอื่นๆของ x ขี้เกียจหาแล้ว

[banker]

คนอื่นๆคงเบื่อกันไปแล้ว


สงสัยเราได้เล่นกันอยู่สองคนเนอะ

[Real Matrik]

เนอะ

ปล. กำลังพิมพ์ solution ของ ฟ.ฟัน อยู่ครับ

[Influenza_Mathematics]

1. WLOG $x\geqslant y\geqslant z$
$2=xy+yz+zx-xyz \geqslant 3z^2-xyz$
พิจารณา $3z^2-xyz \leqslant 2$

ถ้า $z = 0$ อสมการเป็นจริง จะได้ $xy = 2$ ซึ่งแยกกรณีต่อไม่ยากซึ่งจะได้ $(x,y) = (2,1),(1,2)$
พิจารณา $z>0$ เราจะได้ $x>0 , y>0$ ด้วย จาก WLOG
เนื่องจาก $(x-1)(y-1)(z-1) \geqslant 0$
จะได้ $2= xy+yz+zx-xyz \geqslant x+y+z -1$
จะได้ $x+y+z \leqslant 3$
แต่เรา claim ไว้ว่า $x>0,y>0,z>0$
เราจะได้ $x=1,y=1,z=1$ ชุดเดียว

คำตอบทั้งหมดที่สอดคล้องคือ $(x,y,z)=(2,1,0),(1,2,0),(1,1,1)$

[Real Matrik]

solution สวยดีครับ บรรทัดสุดท้ายดูแปลกๆนะครับ

ปล. ของผมเปลี่ยน $x\rightarrow a+1 , y\rightarrow b+1 , z \rightarrow c+1$
จะได้ว่า $a+b+c=abc$
โจทย์จริง $x,y,z \in I$ ครับ ดูเพิมเติมได้ที่

click !!

[Real Matrik]

#81 ตัวอย่างนะครับ $x=36,y=12,z=45$

[กิตติ]

อยากถามเจ้าของกระทู้ว่าข้อแรกในPFFชุดหนึ่ง เฉลยแบบเดียวกับในห้องวิชาการหรือเปล่า โจทย์ใกล้เคียงกัน

(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=3

[Real Matrik]

คล้ายกันครับ (มั้ง )

เชิญชมได้ครับ เพิ่งอัพโหลดไป

[banker]

รบกวนด้วยครับ

WLOG คืออะไรครับ ใช้ยังไง


ลอง search ในนี้แล้ว มีอยู่ 3 หน้า รู้แต่ มัน cyclic, symmetry, อสมการ สงสัยต้องไปหาในเรื่องอสมการต่อ




21.05 20/06/11


ได้คำตอบมาเพิ่มอีกส่วนหนึ่ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

5. สมมาตรของตัวแปร

โดยไม่เสียนัยทั่วไป (Without loss of generality หรือเขียนสั้นๆว่า WLOG) เป็นคำพูดสั้นๆที่ใช้แทนการเขียนพิสูจน์โดยการเลือกพิสูจน์กรณีเฉพาะกรณีหนึ่ง แต่บทพิสูจน์สามารถเป็นตัวแทนสำหรับการพิสูจน์ในกรณีอื่นๆและครอบคลุมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สำหรับการพิสูจน์อสมการนั้น เราไม่สามารถใช้คำนี้ได้เสมอไ้ป แต่จะมีอสมการอยู่ประเภทหนึ่งซึ่งเราสามารถพิสูจน์เพียงกรณีเดียวแต่ส่งผลให้อสมการเป็นจริงในกรณีที่เหลือทั้งหมด อสมการประเภทนี้เราเรียกว่า อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร โดยทั่วไปการพิสูจน์อสมการนั้นเราอาจจะต้องเรียงค่าให้กับตัวแปรเพื่อนำเอาข้อสมมติจากการเรียงค่าให้ตัวแปรมาใช้ประโยชน์ด้วย แต่การแยกกรณีจะทำให้เราต้องเขียนบทพิสูจน์เยอะมากซึ่งไม่สะดวก สำหรับอสมการที่มีสมมาตรในตัวแปรเราสามารถเลือกพิสูจน์เพียงกรณีเดียว และโดยไม่เสียนัยทั่วไป อสมการจะจริงสำหรับทุกกรณี คราวนี้อสมการแบบไหนที่เราเรียกว่ามีสมมาตรในตัวแปร ?

อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร คือ อสมการซึ่งไม่ว่าเราจะเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้วยวิธีใดก็ตามเราก็ยังคงได้อสมการเดิม เช่น อสมการ

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

ถ้าเราเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้งนี้ $a\to c, b\to a, c\to b$ แล้วแทนค่ากลับไปเราจะได้อสมการ

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\geq\frac{3}{2}$$

ซึ่งจะเห็นว่ายังคงเป็นอสมการเดิม สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรวิธีอื่นๆ(วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรสำหรับสามตัวแปรมีอยู่ทั้งหมด 6 วิธี) ก็จะให้อสมการเดียวกัน อสมการนี้จึงมีสมมาตรในตัวแปร

ต่อไปลองดูอสมการนี้บ้าง

$$a^3+3b^3+9c^3 \geq 9abc $$

ถ้าเราทำการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรเสียใหม่ดังนี้ $a\to b,b\to c,c\to a$ เราจะได้อสมการเป็น $$b^3+3c^3+9a^3 \geq bca$$

ซึ่งจะเห็นว่าเราไม่ได้อสมการเดิม อย่างนี้ถือว่าอสมการไม่มีสมมาตรในตัวแปร ครับ

ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=12

[banker]

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 โจทย์ปัญหา ข้อ 7



โจทย์ข้อนี้ คลับคล้ายคลับคลาว่า ได้เคยไปไข่ทิ้งไว้ที่ไหนสักแห่ง ... เอ๊ย เคยทำมาแล้ว

ให้ ขยุ้มทั้งหมด = $a$

จะได้ $a = 3 + \dfrac{a}{2+a}$

$2a+a^2 = 6 + 3a + a$

$a^2-2a-6 =0$

$a$(มีค่าเป็นบวก) = $1+\sqrt{7} $

[banker]

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 แบบฝึกหัด ข้อ 1



$36x^2-72x+11 =0$

$36x^2-72x+36-25 =0$

$36(x^2-2x+1) = 25$

$36(x-1)^2 = 25$

$6(x-1) = \pm 5$

$x = \frac{1}{6}, \frac{11}{6}$

[banker]

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 แบบฝึกหัด ข้อ ll



ให้ $x^2 -2= a \ \ \ \ 2x-1 = b$

$a^3+b^3 = (a+b)^3 = a^3+b^3 +3a^2b+3ab^2 = a^3+b^3 +3ab(a+b)$

$ab(a+b) =0 \ \ \to \ \ a=0, \ b=0, \ a+b = 0$

$x^2 -2= a =0 \ \ \to \ \ x = \pm \sqrt{2} $

$2x-1 = b = 0 0 \ \ \to \ \ x = \frac{1}{2}$

$a+b = x^2+2x-3 = 0 \ \ \to \ \ x = 1, \ -3$

[banker]

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 แบบฝึกหัด ข้อ lV



$x = \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{ 7 ...}}} $

$x^2 = 7x$

$x =7$

[banker]

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 แบบฝึกหัด ข้อ V



ให้ $ a = 12-\sqrt{12-\sqrt{12- ... }} $

$ a = 12-\sqrt{a} $

$a+\sqrt{a} -12 =0$

$(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+4 ) =0$

$a =9, \ 16$

$\sqrt[4]{12-\sqrt{12-\sqrt{12- ... }}} = \sqrt[4]{9}, \ \sqrt[4]{16} = \sqrt{3}, \ 2 $

ทำไมแปลกๆ ?


แก้ไขครับ

$ \sqrt{a}+4 =0 \ \ \to \sqrt{a} \not= -4 $

ดังนั้น $\sqrt[4]{12-\sqrt{12-\sqrt{12- ... }}} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เทคนิคการแก้ปัญหา ชุดที่ 2 แบบฝึกหัด ข้อ V

Attachment 5829

ให้ $ a = 12-\sqrt{12-\sqrt{12- ... }} $

$ a = 12-\sqrt{a} $

$a+\sqrt{a} -12 =0$

$(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+4 ) =0$

$a =9, \ 16$

$\sqrt[4]{12-\sqrt{12-\sqrt{12- ... }}} = \sqrt[4]{9}, \ \sqrt[4]{16} = \sqrt{3}, \ 2 $

ทำไมแปลกๆ ?

a เป็น 16 ไม่ได้ครับ

ให้ $ x = \sqrt{12-\sqrt{12- ... }} $

$x^2 = 12 - x$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x+4)(x-3) = 0$

$x = -4, 3$ แต่ x เป็นลบไม่ได้เนื่องจากเป็นรากที่สองที่เป็นบวก

$x = 3 ----> x^2 = 9$