ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

ถึงเวลาเฉลยแล้วครับ

ให้จำนวนเต็ม $n\ge3$ และ $n+1=k\cdot2^r$, โดยที่ $k$ เป็นจำนวนคี่ และ $r\ge0$ เป็นจำนวนเต็ม

เนื่องจาก $$2^{2^r} \equiv -1 \pmod{2^{2^r} + 1} \quad (\star) $$ ดังนั้น โดยการยกกำลังสองซ้ำไปเรื่อยๆ เราจะพบว่า $$2^{2^t} \equiv 1 \pmod{2^{2^r} + 1}$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $t>r$

นั่นแสดงว่า $$2^{2^n} \equiv 1 \pmod{2^{2^r} + 1}$$ เพราะเมื่อ $n\ge3$ แล้ว $n=k\cdot2^r-1>r$

จาก $(\star)$ เราจะได้ว่า $$2^{n+1}=2^{k\cdot2^r} \equiv (-1)^k \equiv -1\pmod{2^{2^r} + 1} $$ ดังนั้น $$ 2(2^{2^n-1} -2^n-1) = 2^{2^n}-2^{n+1}-2 \equiv 1-(-1)-2 \equiv 0 \pmod{2^{2^r} + 1} $$ แต่ $2^{2^r} + 1$ เป็นจำนวนคี่ แสดงว่า $2^{2^r} + 1 \mid 2^{2^n-1}-2^n-1$ และเนื่องจาก $2^{2^r} + 1 < 2^{2^n-1}-2^n-1$ เราจึงได้ว่า $2^{2^n-1}-2^n-1$ เป็นจำนวนประกอบเมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 ตามต้องการครับ

ไม่ยากใช่ไหมครับ แต่ถ้าใครทำไม่ได้ก็ไม่ต้องเสียใจนะครับ เพราะผมคิดว่า number theorists ส่วนใหญ่ก็ทำไม่ได้ (เห็นนิ่งเงียบ แต่ทีโจทย์เกี่ยวกับ elliptic curve ยากๆเห็นแย่งตอบกันใหญ่เลย แปลกดีครับ) ผมทำข้อนี้ได้ก็เพราะ big hint ซึ่ง Schoof (number theorist ชื่อดัง) เป็นคนให้ไว้ครับ

ผมเพิ่งเห็นคำถามนี้ครับ
สงสัยตรง ให้ {n+1}=2^{k\cdot2^r}ครับ ว่ามันเท่ากันได้ด้วยหรือครับ
ผิดพลาดยังไงต้องขออภัยนะครับที่ทำให้เสียเวลา

สงสัยว่า n+1= k.2ยกกำลัง r ได้ยังไงครับ

[nooonuii]

มาจากทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิตครับ

$n+1$ เป็นจำนวนเต็มบวก จึงสามารถแยกตัวประกอบออกมาเป็น

$n+1=2^r\cdot p_1^{a_1}\cdots p_m^{a_m}$ เมื่อ $r,a_1,...,a_m\geq 0$ และ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่

ให้ $k=p_1^{a_1}\cdots p_m^{a_m}$ ก็จะได้ $n+1=2^r\cdot k$

[จูกัดเหลียง]

มีโจทย์ Number อีกป่าวครับบ
ขอขอบคุณล่วงหน้าครับ ถ้าเป็นไปได้