มอ.วิชาการ ปี 2555

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ให้การโยนแต่ละครั้งได้แต้มเท่ากับ $x_1,x_2,x_3,x_4$ จะได้ว่า $1\leqslant x_1,x_2,x_3,x_4\leqslant 6$
$x_1+x_2+x_3+x_4=16$
$(6-x_1)+(6-x_2)+(6-x_3)+(6-x_4)=24-16=8$
แทน $(6-x_1)=x'_1,(6-x_2)=x'_2,(6-x_3)=x'_3,(6-x_4)=x'_4$
$x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=8$
คิดเป็นการแจกของเหมือนกัน 8 ชิ้นให้คน4คนโดยที่บางคนอาจไม่ได้รับ
เท่ากับ $\binom{8+1}{4-1}=\binom{9}{3} =84 $

$x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=8$ ตรงนี้อันตรายนะครับ
เพราะว่า มันมีคำตอบเป็น (8,0,0,0) ได้ ซึ่งให้ $x_1=-2$ ด้วยต้องหักทิ้ง
และมีเคสอื่นๆที่ต้องหักทิ้้งด้วยครับ

[Slow_Math]

ใช้เพิ่มเข้าตัดออกครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับที่ช่วยเช็คคำตอบ ต้องตัดออกอีกสามกรณีคือค่าของ $x'$ ที่เกิน 5 คือ 6,7และ8
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 8 เกิดได้ 4 วิธี
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 7 เกิดได้ 12วิธี
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 6 เกิดได้ 24วิธี
รวมแล้วหักออกอีก $40$ วิธี
คำตอบเท่ากับ $44$ วิธี

[sahaete]

จาก $\quad A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\cdot adj(A)$
ดังนั้น
$\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a&{{a^2}}\\
1&b&{{b^2}}\\
1&c&{{c^2}}
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}\quad \begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b\\
c
\end{array}\\
\left| A \right| = \left( {b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c} \right) - \left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right)\\
\quad = b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c - {a^2}b - {b^2}c - a{c^2}\\
\quad = abc - {b^2}c - {a^2}b + a{b^2} - a{c^2} + b{c^2} + {a^2}c - abc\\
\quad = bc\left( {a - b} \right) - ab\left( {a - b} \right) - {c^2}\left( {a - b} \right) + ac\left( {a - b} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {bc - ab - {c^2} + ac} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left[ {b\left( {c - a} \right) - c\left( {c - a} \right)} \right]\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)
\end{array}$
เงื่อนไขที่ทำให้ A มีตัวผกผันการคูณ คือ
$det(A)\not= 0$
หรือ $a\not= b\not= c$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ให้การโยนแต่ละครั้งได้แต้มเท่ากับ $x_1,x_2,x_3,x_4$ จะได้ว่า $1\leqslant x_1,x_2,x_3,x_4\leqslant 6$
$x_1+x_2+x_3+x_4=16$
$(6-x_1)+(6-x_2)+(6-x_3)+(6-x_4)=24-16=8$
แทน $(6-x_1)=x'_1,(6-x_2)=x'_2,(6-x_3)=x'_3,(6-x_4)=x'_4$
$x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=8$
คิดเป็นการแจกของเหมือนกัน 8 ชิ้นให้คน4คนโดยที่บางคนอาจไม่ได้รับ
เท่ากับ $\binom{8+1}{4-1}=\binom{9}{3} =84 $

วันก่อนไม่ได้อ่านละเอียด คิดว่าคุณหมอจะไม่พลาด เพราะคิดแนวนี้บ่อย

ต้องเป็น $\binom{8+4-1}{4-1}=\binom{11}{3} =165 $ ครับ

[gon]

ข้อ 2 ที่คุณหมอกิตติพลาดอยู่นะครับ.

[polsk133]

คุณ gon ให้แต่ละเซตคืออะไรหรอครับ

[Slow_Math]

ลองเล่น generating function แล้วกัน

จำนวนวิธีจะเท่ากับ การหา สัมประสิทธิ์ของ $x^{16}$ ใน $$(x^4-4x^{10}+6x^{16}-4x^{20}+x^{28})\sum_{r=0}^{\infty } \binom{3+r}{r}x^r$$

ซึ่งเท่ากับ $$\binom{15}{12} -4\binom{9}{6}+6 = 125 $$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

คุณ gon ให้แต่ละเซตคืออะไรหรอครับ

เอกภพสัมพัทธ์คือ $x_i \ge 1$
เซต A : $x_1 \ge 7 , x_i \ge 1, i \ne 1$
เซต B : $x_2 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 2$
เซต C : $x_3 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 3$
เซต D : $x_4 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 4$

ผมชอบแจกของให้คนละอย่างน้อยหนึ่งชิ้น ไม่งั้นคนที่ไม่ได้โวยแน่เลย

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เอกภพสัมพัทธ์คือ $x_i \ge 1$
เซต A : $x_1 \ge 7 , x_i \ge 1, i \ne 1$
เซต B : $x_2 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 2$
เซต C : $x_3 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 3$
เซต D : $x_4 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 4$

ผมชอบแจกของให้คนละอย่างน้อยหนึ่งชิ้น ไม่งั้นคนที่ไม่ได้โวยแน่เลย

ขอบคุณครับ ผมห่างหายจากเรื่องนี้ไปนาน เพราะชอบรังนกมากกว่า(แต่ก็ไม่ได้เก่งอะไร )

สงสัยต้องไปจูนก่อนเข้าค่าย1 (ถ้าติด)

[กิตติ]

ขอบคุณครับพี่เล็กกับคุณgon ผมจำสูตรผิด หลายรอบแล้ว ก่อนหน้านี้ก็มีคุณonadsiช่วยบอกวิธีจำแล้วก็ลืม บอกให้จำว่าเอาไม้ที่จะกั้นแบ่งไปเรียงรวมกับของที่จะแจกเลย ซึ่งได้สูตรตามที่พี่เล็กแก้ให้ พี่เล็กอย่าไว้ใจความมั่วของผมนะ มีเป็นกะตั๊กๆเลยครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ2จงหาจำนวนวิธีในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งให้ได้จำนวนรวม=16
ได้เห็นการแก้ปัญหาโจทย์แล้ว 2 วิธี คือ
1. stars and Bars ผสมกับเซต โดยคุณ Gon ที่ #21
2. generating functions โดยคุณ Slow_Math ที่ #23
ซึ่งล้วนเป็นเรื่องใหม่ รู้สึกว่าเกินหลักสูตรม.ปลาย ที่ผมเพิ่งศึกษาจากตัวอย่างจนเข้าใจ ตอนนี้มาลองวิธีธรรมดาเพื่อเป็นการเปรียบเทียบว่าทำได้หลายแบบ ดังต่อไปนี้ครับ
3. วิธีแจกแจงรูปแบบและจัดเรียง

$a,b,c,d=1,3,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=1,4,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=1,5,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{3!}=4$ วิธี
$a,b,c,d=2,2,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=2,3,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=3,4,4,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=4,4,4,4$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{4!}=1$ วิธี
รวม= 125 วิธี

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ข้อ2จงหาจำนวนวิธีในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งให้ได้จำนวนรวม=16
ได้เห็นการแก้ปัญหาโจทย์แล้ว 2 วิธี คือ
1. stars and Bars ผสมกับเซต โดยคุณ Gon ที่ #21
2. generating functions โดยคุณ Slow_Math ที่ #23
ซึ่งล้วนเป็นเรื่องใหม่ รู้สึกว่าเกินหลักสูตรม.ปลาย ที่ผมเพิ่งศึกษาจากตัวอย่างจนเข้าใจ ตอนนี้มาลองวิธีธรรมดาเพื่อเป็นการเปรียบเทียบว่าทำได้หลายแบบ ดังต่อไปนี้ครับ
3. วิธีแจกแจงรูปแบบและจัดเรียง

$a,b,c,d=1,3,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=1,4,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=1,5,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{3!}=4$ วิธี
$a,b,c,d=2,2,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=2,3,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=3,4,4,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=4,4,4,4$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{4!}=1$ วิธี
รวม= 125 วิธี

น่าจะนั่งหอบ ยุนะครับ ตอนคิด