FFTMO9

[BLACK-Dragon]

ขอแหวกแนวไปเรขา นิดนึงนะครับเดี๋ยวสถานการณ์ (ของผม) มันจะตึงเครียดไปมากกว่านี้

------------------------------------------------------------------------

1. (TMO 8 วันแรก) กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ โดยมี $C$ เป็นมุมฉาก

ให้จุด D เป็นจุดภายในของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ (จุด D ไม่อยู่บนได้ใดของรูปสามเหลี่ยม)

เส้นตรง $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD}$ และ $\overrightarrow{CD}$ ตัดด้าน$ BC,AC $และ$ AB $ที่จุด$ P,Q$ และ$ R$ ตามลำดับ

ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $PQ$

และให้$ B\hat RP=C\hat RP$ แล้วจงพิสูจน์ว่า $MR=MC$

Outline

พิสูจน์ว่า สี่เหลี่ยม $PRQC$ เป็น concyclic


ปล .พึ่งทำได้ไม่นานเลยอยากลองวิชา (กำลังร้อนวิชา )

-------------------------------------------------------------------------------

2. (TMO 8 วันที่ 2) กำหนดรูปสามเหลี่ม $ABC$ มีจุด $G$ เป็นจุด centriod ุ

ุถ้าเส้นตรง $AC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABG$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $AB+BC \leq 2AC$

Outline

สามเหลี่ยมคล้าย แล้วก็อัด Law of cosine ก็จะหลุดเลย

[PP_nine]

จะว่าไปบอร์ดนี้ยังไม่เปิดประเด็น geo เลย ขอแจมมั่งๆ (ผมชอบวิชานี้สุดในค่ายละ $ $)


3. $\Delta ABC$ มี $\hat A \ge 60^{\circ}$ พิสูจน์ $AB+AC \le 2BC$


4. $\Delta ABC$ ด้านไม่เท่า มี $AD, BE, CF$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $K_a,K_b,K_c$ อยู่บน Incircle $\Delta ABC$
โดยที่ $DK_a,EK_b,FK_c$ สัมผัส Incircle $\Delta ABC$ และ $K_a \not\in BC$, $K_b \not\in CA$ และ $K_c \not\in AB$ พิสูจน์ $\Delta K_aK_bK_c$ ~ $\Delta ABC$


5. สี่เหลี่ยม $ABCD$ concyclic โดย $AC \cap BD = P$ ถ้า circumcenter ของ $(ABCD), (ABP), (BCP), (CDP), (DAP)$
คือ $O, O_1, O_2, O_3, O_4$ ตามลำดับ พิสูจน์ $OP, O_1O_3, O_2O_4$ concurrent


เครดิตทุกข้อโดยพี่ passer-by ครับ ไม่รู้ว่ายังมีแจกในบอร์ดอยู่หรือเปล่า (ผมเอาแค่โจทย์ที่ผมชอบมาลง)

[Keehlzver]

โจทย์พวกนี้ไม่ใช่โจทย์ระดับสอวน. เป็นโจทย์ FE ผสม Number เป็นโจทย์ที่สวยและผมชอบมากๆครับ เลยเอามาให้ดูกัน

1.จงหา $f:\mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}\rightarrow \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$ ที่ทำให้ $f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)$ ทุก $m,n\in \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$

2.จงพิสูจน์ว่าไม่มี $f:\mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}\rightarrow \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$ ที่ทำให้ $f(f(n))=n+1987$ ทุก $n\in \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$

3.จงหาฟังก์ชัน $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $(g(a)+b+c+d)(g(b)+c+d+a)(g(c)+d+a+b)(g(d)+a+b+c)$ เป็นกำลังสี่สมบูรณ์ทุกค่า $a,b,c,d \in \mathbb{N}$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

4. $\Delta ABC$ มี $AD, BE, CF$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $K_a,K_b,K_c$ อยู่บน Incircle $\Delta ABC$
โดยที่ $DK_a,EK_b,FK_c$ สัมผัส Incircle $\Delta ABC$ และ $K_a \not\in BC$, $K_b \not\in CA$ และ $K_c \not\in AB$ พิสูจน์ $\Delta K_aK_bK_c$ ~ $\Delta ABC$

จริงๆ โจทย์เต็มๆของข้อนี้ คือ $\Delta ABC$ด้านไม่เท่า มี $AD, BE, CF$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมและ $K_a,K_b,K_c$ อยู่บน Incircle $\Delta ABC$ โดยที่ $DK_a,EK_b,FK_c$ สัมผัส Incircle $\Delta ABC$ นอกจากนี้ $K_a \not\in BC$, $K_b \not\in CA$ และ $K_c \not\in AB$ ถ้ากำหนด $ A_1,B_1,C_1$ เป็นจุดกึ่งกลาง $BC,CA,AB$ ตามลำดับ พิสูจน์ $A_1K_a , B_1K_b , C_1K_c$ ตัดกันบน incircle ของสามเหลี่ยม ABC

ที่ให้พิสูจน์สามเหลี่ยมคล้าย นั้นเป็นแค่ lemma หนึ่งของข้อนี้ครับ ส่วนโจทย์เต็มๆนี้ อาจจะต้องใช้ Feurbach point มาช่วย (ซึ่งอาจจะเกิน TMO)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ไม่รู้ว่ายังมีแจกในบอร์ดอยู่หรือเปล่า

ใกล้ๆปีใหม่ ยังไม่มี plan ครับ เพราะช่วงนี้หมดเงินไปกับการทำบุญเยอะมาก ส่วนหนังสือ Free download ถ้าจะมี คงเลยกลางปีหน้าไปก่อนครับ

[PP_nine]

อ๋อ ผมหมายถึงของเก่าๆที่พี่เคยแจกไว้น่ะครับ เห็นแจกเยอะมากเลย ^^

ส่วนโจทย์ข้อนั้นผมตก สามเหลี่ยมด้านไม่เท่าไปจริงด้วย

[kongp]

สอบโอลิมปิกว่ายากแล้ว เดี๋ยวเจอข้อสอบมหาลัยบางที่แล้วจะหนาว นัยว่าสำหรับลูกอาจารย์คณะวิทย์

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

2.จงพิสูจน์ว่าไม่มี $f:\mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}\rightarrow \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$ ที่ทำให้ $f(f(n))=n+1987$ ทุก $n\in \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$

จากโจทย์จะได้ว่า $deg(f(n))=1$ ผมคิดว่าคงต้องพิสูจน์(จาก Numberที่พี่ Keehlzver บอกไว้เเต่เเรก)ว่า ถ้า $deg(f(n))\ge 2$ เเล้วจะเป็นไปไม่ได้
เเต่ถ้าสรุปว่ามันจะไม่สามารถเทียบส.ป.สได้อ่ะครับ ( โอเคป่าวอ่ะ )
เพราะฉะนั้นสมมุติให้ $f(n)=kn+m$ สำหรับ $k.m\in\mathbb{I}$
จะได้ $f(f(n))=f(kn+m)=k^2n+(m+1)k=n+1987$ เทียบ ส.ป.ส เลยได้ $m\not
\in\mathbb{I}$
ทำให้ไม่มี $f(n)$ ที่สอดคล้อง

[AnDroMeDa]

^ ผมคิดว่าเทียบดีกรีไม่ได้เพราะมันไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันพหุนามอ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

1.จงหา $f:\mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}\rightarrow \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$ ที่ทำให้ $f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)$ ทุก $m,n\in \mathbb{N}\cup\left\{\,0\right\}$

#68 ฟังก์ชันค่าคงที่ก็ไม่มีอยู่เเล้วไม่ใช่อ่อครับ
เเล้วไงก็ช่วยเเนะนำต่อหน่อยครับ
เเทน $m \rightarrow n-f(n)$ $\therefore f(n-f(n))=0$
เเทน $n\rightarrow n-f(n)$ $\therefore f(m+f(n-f(n))=f(f(m))+f(n-f(n))\leftrightarrow f(n)=f(f(n))$
เเละเเทน $m=f(m)-f(n)$ ในโจทย์ จะได้ว่า $f(n)=0$
หากพิจารณาจากโจทย์สามารถเขียนได้ว่า $$f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))$$
ซึ่งก็คือ สมการของโคชี ทำให้ได้ว่า $f(x)=x$

[PP_nine]

#67 เห็นด้วยกับคุณ AnDroMeDa ครับ คำตอบแม้ว่าจะบอกโดเมนกับเรนจ์ว่าเป็น $\mathbb{N}_0$ ก็ไม่ได้แปลว่าต้องเป็นพหุนามครับ เช่น $f(n)=2^n$

#69 ท่าทางจะต้องเรียนให้แน่นกว่านี้นะครับ ^^

การจะแทน $a$ ด้วย $b$ ก็ต้องมั่นใจก่อนนะครับว่า $b$ ก็อยู่ในโดเมนที่กำหนดด้วย เท่ากับว่ายังไม่ได้พิสูจน์ $n-f(n) \ge 0$

ส่วนสมการโคชีก็ต้องอยู่ในรูป $f(m+n)=f(m)+f(n)$ แต่ก่อนจะสรุปอย่างนี้ได้ต้องพิสูจน์ก่อนครับว่า $f$ onto บนเรนจ์ (จากการแทนที่ $f(n)$ ด้วย $n$)

ไม่เช่นนั้นเราจะรู้ได้อย่างไรว่าทุกจำนวนเต็ม $n \ge 0$ จะมี $x \ge 0$ ซึ่ง $f(x)=n$

ปล. ลองอ่านเงื่อนไขการใช้สมการโคชีให้ดีนะครับ มันต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมเล็กน้อยประกอบไปด้วย

[BLACK-Dragon]

คุณ PP_nine ขอ Hint ข้อ 3 หน่อยครับ

ไม่รู้จะเอาอะไรมาช่วยเลย

[จูกัดเหลียง]

#70 จริงๆด้วยครับ 555 ยังไงก็เฉลยเลยดีกว่าครับ ข้อ 1-2 FE อ่ะ เเล้วก็ HINT อย่างที่น้อง BLACK-Dragon บอกได้เลยดีกว่าครับ เพราไม่รู้จะทำยังไงเเล้ว ผมว่าจะดูเป็นเเนวทางซักกะหน่อยย

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3. $\Delta ABC$ มี $\hat A \ge 60^{\circ}$ พิสูจน์ $AB+AC \le 2BC$


4. $\Delta ABC$ ด้านไม่เท่า มี $AD, BE, CF$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $K_a,K_b,K_c$ อยู่บน Incircle $\Delta ABC$
โดยที่ $DK_a,EK_b,FK_c$ สัมผัส Incircle $\Delta ABC$ และ $K_a \not\in BC$, $K_b \not\in CA$ และ $K_c \not\in AB$ พิสูจน์ $\Delta K_aK_bK_c$ ~ $\Delta ABC$


5. สี่เหลี่ยม $ABCD$ concyclic โดย $AC \cap BD = P$ ถ้า circumcenter ของ $(ABCD), (ABP), (BCP), (CDP), (DAP)$
คือ $O, O_1, O_2, O_3, O_4$ ตามลำดับ พิสูจน์ $OP, O_1O_3, O_2O_4$ concurrent

Hint#3

พิจารณากรณีที่ $\hat A=60^{\circ}$ แล้วค่อยขยายไปยังกรณีที่ $\hat A \ge 60^{\circ}$

Hint#4

ไล่มุมธรรมดาก็ได้ครับ

Hint#5

ลองพิจารณาเพียง $(ABCD)$ กับซักวงหนึ่ง ให้เป็น $(DAP)$ ละกัน แล้วดูว่า $O_4P$ สัมพันธ์กับ $BC$ อย่างไร

และผลจากก่อนหน้านี้ทำให้ได้ว่า $O_4P$ จะ...กับ $OO_2$ และในทำนองเดียวกันกับ $O_2P$ จะ...กับ $OO_4$

ส่วนข้อ FE ข้อแรกยังไม่แน่ใจครับ แต่ข้อสองต้องหาขอบเขตของ $f(0),f(1),f(2),...,f(1986)$ ดูก่อนครับ

จากนั้นมันจะจบที่ $\frac{1987}{2}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม (ข้อนี้เคยเป็นแบบฝึกในค่ายศูนย์ กทม. แต่ผมจำวิธีเต็มๆไม่ค่อยได้น่ะครับ)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

Hint#3

พิจารณากรณีที่ $\hat A=60^{\circ}$ แล้วค่อยขยายไปยังกรณีที่ $\hat A \ge 60^{\circ}$

อยากจะบอกว่าผมไม่ชอบเรขามากที่สุดเลยเเต่ทำ(เต็มที่เเล้ว)ได้เเค่ว่า กรณีที่ $A=60^{\circ}$ เองอ่ะครับ ไม่รู้จะขยายต่อไปยังไง เเต่ผมลงเผื่อ น้อง BLACK-Dragon จะมีเเนวคิดดีๆก็ได้นะครับ ^^
(เห็นฟิตเรขาจังเลย 555)

Hide

กำหนด ความยาว $a,b,c$ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ตามลำดับ จึงต้องพิสูจน์ว่า $2b\ge c+a$
ลาก $BD$ ไปตัดกับ $AC$ ที่จุด $D$ ที่ทำให้ $\angle ADB=60^{\circ}$ เเละกำหนด $CD=x$
จาก $\Delta BDC$ โดยกฎของ Cosine
ได้ว่า $a^2=c^2+x^2+cx$
พิจารณา $2b\ge c+a\leftrightarrow c+2x\ge a$
จึงต้องการพิสูจน์ว่า $a^2=c^2+x^2+cx\le c^2+4cx+4x^2\leftrightarrow 3x(c+x)\ge 0$
ซึ่งเป็นจริงเสมอ เเละสมการเกิิดขึ้นเมื่อ $x=0$ หรือก็คือ $a=b=c$

[PP_nine]

ผมพิมพ์โจทย์ผิดน่ะครับ ต้องเป็น $\hat A \ge 60^{\circ}$ พิสูจน์ $AB+AC \le 2BC$

ช่วงนี้เป็นอะไรไม่รู้ พิมพ์ผิดบ่อยมาก