ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 23 ยังมีที่ผิดอยู่ครับ ลองกลับไปแก้อีกรอบ คิดว่าแค่พิมพ์ผิดเท่านั้น

ข้อ 26 มีวิธีที่ง่ายกว่านี้คือใช้ข้อ 22 สองครั้งครับ

ข้อ 23 แก้แล้วครับ ผมอ่านโจทย์ผิดครับ

[warutT]

ข้อ 27 ครับ

Proof

$\sqrt{\frac{x^2}{y}}+\sqrt{\frac{y^2}{x}}$
$=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
$=\sqrt{x}+\sqrt{y}$
จบการพิสูจน์ครับ

[warutT]

ข้อ 29 ครับ

From Modified Cauchy-Schwarz Inequality

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

$=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3$

$\geq \dfrac{(3\sqrt{a+b+c})^2}{2(a+b+c)}-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}$

จบการพิสูจน์ครับ

[คณิตศาสตร์]

เหอะๆทำไม่ทันเลย ข้อ23.เหมือนข้อ21.ครับ
$a+b+c= \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}c }{\sqrt{6}}$
ใช้โคชี
$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}c }{\sqrt{6}}\leqslant \sqrt{(\sqrt{2}a)^2+(\sqrt{3}b)^2+(\sqrt{6}c)^2 }\sqrt{(frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+(\frac{1}{\sqrt{6}})^2}$
$a+b+c\leqslant \sqrt{2a^2+3b^2+6c^2}\sqrt{1}$
$(a+b+c)^2\leqslant 2a^2+3b^2+6c^2$

[คณิตศาสตร์]

ข้อ25.
$(a+b)(a^3+b^3)\geqslant (a^2+b^2)^2$
$a^4+a^3b+ab^3+b^4\geqslant a^4+2a^2b^2+b^4$
$a^3b+ab^3\geqslant 2a^2b^2$
$a^2+b^2\geqslant 2ab$

[warutT]

ข้อ 28 ครับ

$a^2-2ab+b^2 \geq 0$

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$\dfrac{1}{2ab} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2}$

From modified Cauchy-Schwarz Inequality

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{a}= \dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{ab}$

$\geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2ab} \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2}=a^2+b^2$

จบการพิสูจน์ครับ

[คณิตศาสตร์]

ข้อ22.กับข้อ23.มาจากผลพลอยได้จากข้อ21.จริงๆด้วย พี่warut คงมีประสบการณ์เรื่องนี้เยอะสิครับทำได้หมดเลย ผมยังเพิ่งหัดใหม่อยู่เลยครับยังมองโจทย์ไม่ออกเท่าไร

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ22.กับข้อ23.มาจากผลพลอยได้จากข้อ21.จริงๆด้วย พี่warut คงมีประสบการณ์เรื่องนี้เยอะสิครับทำได้หมดเลย ผมยังเพิ่งหัดใหม่อยู่เลยครับยังมองโจทย์ไม่ออกเท่าไร

ไม่หรอกครับ ผมก็เพิ่งเริ่มหัดทำอสมการเหมือนกัน มีอะไรช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

[warutT]

ข้อ 31 ครับ
From modified Cauchy-Schwarz Inequality

$(\dfrac{a^2}{b}+1)(\dfrac{b^2}{c}+1)(\dfrac{c^2}{a}+1)$

$\geq (\dfrac{(a+1)^2}{b+1})(\dfrac{(b+1)^2}{c+1})(\dfrac{(c+1)^2}{a+1})$

$=(a+1)(b+1)(c+1)$

$(\dfrac{a^2}{b}+1)(\dfrac{b^2}{c}+1)(\dfrac{c^2}{a}+1) \geq (a+1)(b+1)(c+1)$

$\dfrac{1}{abc}(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a) \geq (a+1)(b+1)(c+1)$

$\therefore (a^2+b)(b^2+c)(c^2+a) \geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$

จบการพิสูจน์ครับ

[คณิตศาสตร์]

ข้อ26.อย่างนี้เปล่าครับ
จากข้อ21.$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
จากโจทย์ข้อ26.จัดรูปตามอสมการดังข้างบนจะได้ว่า
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geqslant \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{a+b+b+c+c+a}$
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geqslant \frac{[2(a^2+b^2+c^2)]^2}{2(a+b+c)}$
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\leqslant \frac{a^2}{a}+\frac{b^2}{b}+\frac{c^2}{c}$
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\leqslant a+b+c$
ผมยังไม่มีประสบการณ์ไรมากหรอกครับให้พี่noonuiiแนะนำดีสุดครับ พี่noonuiiอสมการที่พี่ให้มาถ้าข้อไหนใช้วิธีอื่นได้อย่างเช่นAM-GM ก็อธิบายพร้อมทฤษฎีบทไปเลยก็ได้ครับเพราะผมยังไม่เข้าใจอยู่ในเรื่อง AM-GM อะครับว่าใช้ยังไง

[คณิตศาสตร์]

warut อยู่จังหวัดไรเหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ26.อย่างนี้เปล่าครับ
จากข้อ21.$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
จากโจทย์ข้อ26.จัดรูปตามอสมการดังข้างบนจะได้ว่า
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geqslant \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{a+b+b+c+c+a}$
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geqslant \frac{[2(a^2+b^2+c^2)]^2}{2(a+b+c)}$
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\leqslant \frac{a^2}{a}+\frac{b^2}{b}+\frac{c^2}{c}$
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\leqslant a+b+c$
ผมยังไม่มีประสบการณ์ไรมากหรอกครับให้พี่noonuiiแนะนำดีสุดครับ พี่noonuiiอสมการที่พี่ให้มาถ้าข้อไหนใช้วิธีอื่นได้อย่างเช่นAM-GM ก็อธิบายพร้อมทฤษฎีบทไปเลยก็ได้ครับเพราะผมยังไม่เข้าใจอยู่ในเรื่อง AM-GM อะครับว่าใช้ยังไง

ยังมีที่ผิดอยู่ครับ

ผมหมายความว่าให้ทำอย่างนี้ครับ

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{a+b}+\cdots$

แล้วก็ใช้อสมการข้อ 21 รวดเดียวเลยก็ได้

โจทย์บางข้อจะมีวิธีคิดโดยใช้อสมการอื่นด้วย
นี่คือเสน่ห์อย่างหนึ่งของโจทย์อสมการครับ

ยังเหลือข้อ 30 ข้อเดียวแล้วครับ

[warutT]

พี่ nooonuii ช่วย hint ข้อ 30 หน่อยครับ
ผมลองทำสองวิธีแล้วตันทั้งสองวิธีเลยครับ

[nooonuii]

30. LHS = $\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{cd+ca}+\dfrac{d^2}{da+db}$

แล้วใช้ข้อ 21 ครับ

[คณิตศาสตร์]

เข้าใจแล้วครับเดี๋ยวผมจะมาร่วมเฉลยด้วย