พิสูจน์โดยใช้ MATRIX

[Guntitat Gun]

กำหนดให้ $A, B, C$ แทนค่ามุมภายในสามเหลี่ยมเดียวกัน
ให้ ${x=cos(\frac{A-B}{2}), y=cos(\frac{B-C}{2}), z=cos(\frac{C-A}{2})}$
จงพิสูจน์ว่า ${x^4+y^4+z^4\leq1+2x^2y^2z^2}$

//บังคับใช้เมทริกซ์นะครับ
รบกวนด้วยคร้าบ
--ขอคารวะ--

[Shane123456789]

$x^2$=$cos^2(\frac{a-b}{2})$=$\frac{cos(a-b)+1}{2}$


$\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$$\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$=$\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}$

$det\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$$det\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$=$det\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}$

จาก$det\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$=$det\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$
ดังนั้น $det\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}\ge0$
$det\bmatrix{1&x^2&z^2\\x^2&1&y^2\\z^2&y^2&1}\ge0$
$1+2x^2y^2z^2-x^4-y^4-z^4\ge0$

$\therefore1+2x^2y^2z^2\ge x^4+y^4+z^4$