Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 08 ธันวาคม 2016, 04:44
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Default Putnam 2016

ข้างล่างนี้เป็นการแข่งขัน Putnam ที่ผ่านไปอาทิตย์ที่แล้ว ลองทำดูครับ
  • A1
    Find the smallest positive integer $j$ such that for every polynomial $p(x)$ with integer coefficients and for every integer $k,$ the integer
    \[p^{(j)}(k)=\left. \frac{d^j}{dx^j}p(x) \right|_{x=k}\]
    (the $j$-th derivative of $p(x)$ at $k$) is divisible by $2016.$
  • A2
    Given a positive integer $n,$ let $M(n)$ be the largest integer $m$ such that
    \[\binom{m}{n-1}>\binom{m-1}{n}.\]
    Evaluate
    \[\lim_{n\to\infty}\frac{M(n)}{n}.\]
  • A3
    Suppose that $f$ is a function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ such that
    \[f(x)+f\left(1-\frac1x\right)=\arctan x\]
    for all real $x\ne 0.$ (As usual, $y=\arctan x$ means $-\pi/2<y<\pi/2$ and $\tan y=x.$) Find
    \[\int_0^1f(x)\,dx.\]
  • A4
    Consider a $(2m-1)\times(2n-1)$ rectangular region, where $m$ and $n$ are integers such that $m,n\ge 4.$ The region is to be tiled using tiles of the two types shown:
    (The dotted lines divide the tiles into $1\times 1$ squares.) The tiles may be rotated and reflected, as long as their sides are parallel to the sides of the rectangular region. They must all fit within the region, and they must cover it completely without overlapping.

    What is the minimum number of tiles required to tile the region?
  • A5
    Suppose that $G$ is a finite group generated by the two elements $g$ and $h,$ where the order of $g$ is odd. Show that every element of $G$ can be written in the form
    \[g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\cdots g^{m_r}h^{n_r}\]
    with $1\le r\le |G|$ and $m_n,n_1,m_2,n_2,\dots,m_r,n_r\in\{1,-1\}.$ (Here $|G|$ is the number of elements of $G.$)
  • A6
    Find the smallest constant $C$ such that for every real polynomial $P(x)$ of degree $3$ that has a root in the interval $[0,1],$
    \[\int_0^1|P(x)|\,dx\le C\max_{x\in[0,1]}|P(x)|.\]
  • B1
    Let $x_0,x_1,x_2,\dots$ be the sequence such that $x_0=1$ and for $n\ge 0,$
    \[x_{n+1}=\ln(e^{x_n}-x_n)\]
    (as usual, the function $\ln$ is the natural logarithm). Show that the infinite series
    \[x_0+x_1+x_2+\cdots\]
    converges and find its sum.
  • B2
    Define a positive integer $n$ to be {\it squarish} if either $n$ is itself a perfect square or the distance from $n$ to the nearest perfect square is a perfect square. For example, $2016$ is squarish, because the nearest perfect square to $2016$ is $45^2=2025$ and $2025-2016=9$ is a perfect square. (Of the positive integers between $1$ and $10,$ only $6$ and $7$ are not squarish.)

    For a positive integer $N,$ let $S(N)$ be the number of squarish integers between $1$ and $N,$ inclusive. Find positive constants $\alpha$ and $\beta$ such that
    \[\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{\alpha}}=\beta,\]
    or show that no such constants exist.
  • B3
    Suppose that $S$ is a finite set of points in the plane such that the area of triangle $\triangle ABC$ is at most $1$ whenever $A,B,$ and $C$ are in $S.$ Show that there exists a triangle of area $4$ that (together with its interior) covers the set $S.$
  • B4
    Let $A$ be a $2n\times 2n$ matrix, with entries chosen independently at random. Every entry is chosen to be $0$ or $1,$ each with probability $1/2.$ Find the expected value of $\det(A-A^t)$ (as a function of $n$), where $A^t$ is the transpose of $A.$
  • B5
    Find all functions $f$ from the interval $(1,\infty)$ to $(1,\infty)$ with the following property: if $x,y\in(1,\infty)$ and $x^2\le y\le x^3,$ then $(f(x))^2\le f(y) \le (f(x))^3.$
  • B6
    Evaluate
    \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k2^n+1}.\]
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 08 ธันวาคม 2016, 17:23
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

เอาข้อทีผมทำได้ไปก่อนละกัน 555




08 ธันวาคม 2016 17:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 08 ธันวาคม 2016, 21:11
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default







__________________
I'm Back

08 ธันวาคม 2016 21:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ EMIC 2016 @ เชียงใหม่ (TIMC2016)(บุคคล+ทีม+คำตอบ) Ruth Bimbo ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 0 22 สิงหาคม 2016 22:52
ผลการแข่งขัน TIMC 2016 (EMIC2016+IWYMIC2016) otakung ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 0 21 สิงหาคม 2016 19:59
ผลสอบ Putnam 2015 -นักศึกษาไทยคนแรกในประวัติศาสตร์ได้รับเลือกเป็น Putnam Fellow putnam งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป 1 09 เมษายน 2016 09:46
สุขสันต์ปีใหม่ 2016 ครับ จูกัดเหลียง ฟรีสไตล์ 5 02 มกราคม 2016 16:28
ฟุตบอลยูโร 2016 ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟรีสไตล์ 5 14 กันยายน 2014 19:57

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha