โจทย์รูปสามเหลี่ยม

[ด้วยใจปราถนา]

1.ให้จุด p เป็นจุดภายในรูปสามเหลียม ABC ที่ทำให้
มุม PBA = 40 องศา มุม PCA = 30 องศา มุม PBC = 20 องศา มุม PCB = 20 องศา
หามุม PAC

2. ให้ P เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่ทำให้
มุม PBA = 30 PCA = 30 PBC = 40 PCB = 20
หาขนาดของมุม PAC

3. จงหาค่าของ (k)(k)+[60/k+2] เมื่อ k เป็นจำนวนจริงที่ทำไห้ lllx-2l-3l+kl= 4
มีคำตอบ 5 คำตอบ
1.21 2.37 3.55+2/3 4.61 5.ไม่มีคำตอบ

แสดงวิธีทำด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

[hatemath]

1.30 องศาครับ

[Mol3ilE]

ข้อ 1. รุสึกว่าจะวาดวงกลมมั้งครับ
ตอบ30ทั้ง2ข้อรึเปล่าอ่่าครับ

[ด้วยใจปราถนา]

แสดงวิธีทำไห้ดูหน่อยครับบ

ผมอยากรู้ว่า
"สามเหลี่ยมทุกรูปสามารถวาดในวงกลมได้หมดไหมครับ ?"

[-[S]ycoraX-]

ข้อ 2 ลองต่อ PC PB PA ให้มาตัดด้านแต่ละด้านของรูป สามเหลี่ยมนะครับ จะได้ว่าทั้งสามเส้นนั้นเป็นเส้นส่วนสูงทั้งหมด จึงทำให้ได้ว่า PAC = 40 องศา มั้งครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ด้วยใจปราถนา

ผมอยากรู้ว่า
"สามเหลี่ยมทุกรูปสามารถวาดในวงกลมได้หมดไหมครับ ?"

มันมี ทบ.ที่ว่า จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีวงกลมเพียง 1 วง ล้อมรอบเสมอครับ

ข้อที่ 1 ลองดูที่ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=14289 ครับ ท่านเซียนทั้งหลายได้เฉลยไว้เรียบร้อยแล้ว

[ด้วยใจปราถนา]

ผมยังไม่เข้าใจข้อ 2 นะครับ คือรู้ได้ยังไงว่า PAC =40

[-[S]ycoraX-]

จากทฤษฎีโมเมชั่นของผม

ประการแรก ลองต่อ BP มาตัด AC ที่ X จะได้ว่า BX ตั้งฉากกับ AC จะได้ว่า BX คือเส้นส่วนสูง
ประการที่สอง ลองต่อ CP มาตัด AB ที่จุด Y จะได้ว่า CY ตั้งฉากกับ AB จะได้ว่า CY คือเส้นส่วนสูง

จากจุด A ลากเส้นลงมาตั้งฉากกับ BC ที่จุด Z จากทฤษฎีบทที่ว่า เส้นส่วนสูงของสามเหลี่ยมใดๆ จะตัดกันที่จุดๆเสมอ ดังนั้น APZ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

พิจารณา สามเหลี่ยม ACZ

ZAC + ACZ + CZA = 180
ZAC = 180 - 50 - 90 = 40 = PAC มั้งครับ

[ด้วยใจปราถนา]

แต่ว่าถ้าดูวิธีทำจากข้อ 1
มุม BPC = 180-40-20 =120
มุม BAC = 180-70-50 = 60
จะเห็นว่า BPC = 2BAC ทำไห้สามเหลี่ยม ABC แนบในรูปวงกลม
แล้วมี PA PC PB เป็นรัศมี จะได้ว่า มุม PAC = 30 องศา

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาเสริมท่านหยินหยาง

1. มุม BPC เป็นสองเท่าของมุม BAC

2. มุม PBC = มุมPCB

ต้องครบทั้งสองข้อ จึงจะสรุปว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC

(มีโจทย์บางข้อที่ มุม BPC เป็นสองเท่าของมุม BAC (1.) แต่มุมที่ฐานไม่เท่ากัน(ตามข้อ2.) P จึงไม่เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC)

อ้างอิงจากอันนี้นะครับ
ต้องมีคุณสมบัติ ครบ สอง ข้อ จึงจะทราบว่า P เป็นจุด circumcenter ครับ
ซึ่งโจทย์ข้อที่ 2 ขาดคุณสมบัติข้อ 2 ครับ

[ด้วยใจปราถนา]

ขอบคุณมากครับ น้ำตาไหลซึมๆๆเลย เหลืออีกข้อนะครับ *-*

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ด้วยใจปราถนา

3. จงหาค่าของ $(k)(k)+\frac{60}{k+2}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำไห้ $|||x-2|-3|+k|= 4$
มีคำตอบ 5 คำตอบ

ปล. เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ไม่ได้ใช้ตัว L นะครับ. อยู่เหนือปุ่ม Enter

และ $60/k+2 = \frac{60}{k} + 2\ne \frac{60}{k+2} $

ให้ $f(x) = |||x-2|-3|+k|-4 = 0$

จะเห็นว่า $f(4-x) = |||4-x-2|-3|+k|-4 = |||2-x|-3|+k|-4 = |||x-2|-3|+k|-4 = f(x) = 0$

ซึ่งแปลความได้ว่า ถ้า x เป็นคำตอบของ $f(x) = 0$

แล้ว $4-x$ จะเป็นคำตอบของสมการ $f(x) = 0$ ด้วย

นั่นคือคำตอบของสมการ โดยทั่วไปแล้ว จะมีเป็นจำนวนคู่ตัวเสมอ

โจทย์ต้องการให้มีคำตอบ 5 คำตอบ ซึ่ง 5 เป็นจำนวนคี่

ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ $x = 4-x$ แล้ว $x = 2$

เมื่อแทนค่า $x = 2$ ลงในสมการที่ให้มา จะได้ว่า $k = 1$ หรือ $k =-7$

จากนั้นก็ลองสมมติให้ $k = 1$ แล้วแก้สมการหาค่า x ว่าออกมาได้ 5 ค่าหรือไม่

ถ้าไม่ใช่ ก็แทน $k = -7$ แล้วแก้สมการหาค่า x ว่าออกมาได้ 5 ค่าหรือไม่

[-[S]ycoraX-]

ทำไมถึงต้อง แทนฟังก์ชันด้วย 4-x ละครับ

[gon]

เพราะว่าต้องการหาคู่ของคำตอบที่เท่ากันครับ คืออยากรู้ว่า สมมติว่าถ้า x เป็นคำตอบ แล้วอะไรที่เป็นคำตอบด้วยเสมอ

ซึ่งจุดหลักในข้อนี้อยู่ตรงที่การถามว่า $|x-2|$ ถ้าแทน x ด้วยอะไร แล้วสุดท้ายได้เป็น $|x-2|$ เท่าเดิม
การที่ $f(x) = f(4-x) = 0$ เช่น ถ้า $x = 5$ จะได้ $f(5) = f(-1) = 0$ หมายความว่า ถ้า $x = 5$ เป็นคำตอบแล้ว $x = -1$ จะเป็นคำตอบด้วย

คำถามที่ง่ายกว่านี้ เช่น สมการ $||x| + k| = 2$ จะมีจำนวนคำตอบเป็นจำนวนคี่เมื่อ $k = ?$

ให้ $f(x) = ||x| + k| - 2 = 0 $

จะเห็นว่า $f(-x) = ||-x|+k| - 2 = ||x|+k| - 2 = f(x) = 0$
ซึ่งแสดงว่า ถ้า $x$ เป็นคำตอบแล้ว $-x$ จะเป็นคำตอบด้วย

ดังนั้นคำตอบของสมการ $||x| + k| - 2 = 0$ จะมีจำนวนคำตอบเป็นจำนวนคี่เมื่อมีอยู่ 1 คู่ ต้องถูกยุบจาก 2 ตัวเหลือ 1 ตัว

เช่น เดิมมี 6 ตัวหรือ 3 คู่ ได้แก่ a, b, c, d, e, f ที่ทำให้ f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = d(e) = f(f) = 0

ถ้าปรากฏว่า c = d แบบนี้ คำตอบก็จะยุบเหลือเพียง 5 ตัวเท่านั้นคือ a, b, c, e, f (หรือ a, b, d, e, f)

หมายเหตุ ที่จริงแล้วคำถามนี้ไม่ควรเป็นคำถามระดับม.ต้นครับ

ถ้ายังรู้สึกงง ๆ อยู่ ไว้รอเรียนเนื้อหา ม.ปลาย พวก เรื่อง จำนวนจริง, ฟังก์ชัน, เรขาคณิตวิเคราะห์, สมการพหุนาม จะมีมิติความเข้าใจดีกว่าเดิมครับ.

[-[S]ycoraX-]

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากๆครับ

[ด้วยใจปราถนา]

เก่งสุดๆๆๆเลยครับ ขอบคุณมากกกกกกกกกครับ