ข้อสอบ PMWC 2010 (ประเภทบุคคล)

[คusักคณิm]

ตัวข้อสอบได้จากคุณ nong_jae ครับ (ขอบคุณ ณ ที่นี้นะครับ)
https://docs.google.com/fileview?id=...NjAwY2Rh&hl=th

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับ....ผมหาฉบับแจกในเนตก็ยังไม่มีใครปล่อยให้โหลด
ข้อสอบมีหลายข้อดูคุ้นๆมากเลยครับ

[banker]

1.มีธนบัตรราคาฉบับละ 1,5,10,50 เหรียญ รวมกัน 9 ฉบับ โดยมีอย่างน้อยชนิดละ 1 ฉบับ มูลค่ารวมคือ 177 เหรียญ จงหาว่ามีธนบัตรราคา 10 เหรียญกี่ฉบับ

2.ให้เลือกตัวเลขจาก 1-9 มา 8 จำนวน เพื่อมาเขียนบนจุดยอดของลูกบาศก์จุดละ 1 ตัว โดยให้ผลบวกแต่ละหน้ามีค่า 18 เท่ากัน จงหาว่าตัวเลขที่ไม่ได้ถูกเลือกมาคือตัวเลขใด

3. a,b,c,d พูดเกี่ยวกับตัวเลขตัวหนึ่ง
a: เลขจำนวนนี้คือ 91
b: เลขจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ
c: เลขจำนวนนี้เป็นเลขคู่
d: เลขจำนวนนี้คือ 87
ข้อความของ a,b จริงเพียงข้อความเดียว และข้อความของ c,d จริงเพียงข้อความเดียว
จงหาว่าจำนวนดังกล่าวคือจำนวนใด

4.จากรูปวงกลมทั้ง 3 เท่ากันทุกประการ มีรัศมียาว 7 ซม. หาพื้นที่แรเงา $(\pi = \frac{22}{7})$


5.E มีพิซซ่าอยู่หลายถาด เขาแบ่งพิซซ๋า 1/3 ของที่มีอยู่กับอีก 2/3 ถาดให้ A แบ่ง1/4 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ B แบ่ง 1/2 ของที่เหลือให้ C แบ่ง 1/2 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ D เขาก็เหลือพิซซ่าอยู่ 5 ถาด เดิม E มีพิซซ่าอยู่กี่ถาด

6.มีขวดน้ำผลไม้ 21 ใบ มีน้ำเต็มขวด 7 ใบ น้ำครึ่งขวด 7 ใบ ขวดเปล่า 7 ใบ ให้แบ่งขวดออกเป็น 3 กลุ่มกลุ่มละ 7 ใบ แต่ละกลุ่มต้องมีน้ำเท่ากัน กลุ่มหนึ่งจะมีน้ำครึ่งขวดอยู่มากที่สุด ถามว่ามีกี่ใบ

7.ปัจจุบันปู่มีอายุเป็น 7 เท่าของหลาน ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้าปู่จะมีอายุเป็น 6,5,4,3 เท่าของหลานพอดี ถ้าอายุปู่เป็นจำนวนเต็ม 2 หลัก และอายุหลานเป็นจำนวนเต็ม หาว่าปัจจุบันปู่อายุกี่ปี

8.เลข 4 หลักที่เมื่อลบออกจาก 2010,2000,1990 แล้วเป็นจำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวน จงหาเลขสี่หลักจำนวนนั้น

9.ในการสอบ ข้อสอบมี 25 ข้อ ตอบถูกจะได้ 4 คะแนน ตอบผิดถูกหัก 1 คะแนน ไม่ตอบไม่ได้คะแนน โจโก้ได้ 68 คะแนน เขาตอบผิดอย่างน้อย 1 ข้อ จงหาว่าเขาตอบผิดกี่ข้อ

10.มีพี่น้อง 2 คน น้องอายุ 30-40 ปี พี่อายุ 40-50 ปี ผลคูณอายุเป็นจำนวนกำลังสาม จงหาผลบวกอายุของทั้งสอง

11.ชุดของตัวเลข 1,2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,... เป็นชุดของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว จงหาว่าจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2010 ของชุดตัวเลขนี้คือจำนวนใด

12.รูปสี่เหลี่ยมจุตรัสประกอบด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก 9 รูป รูป E เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูป A,B,C มีพื้นที่ 7,21,2 ตร.ซม. หาความยาวรอบรูป D


13.สร้างสี่เหลี่ยมมุมฉาก จากไม้ขีด 500 อัน โดยให้มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 หน่วย มากที่สุดได้กี่รูป

14.มีสามเหลี่ยมอยู่กี่รูป


15. จากรูปเป็นการนำก้อนหินทรงลูกบาศก์ 14 ก้อนมาเรียงซ้อนกัน แต่ละลูกมีความยาวด้าน 1 เมตร จากนั้นนำปูนมาเทเป็นพีระมิดฐานสี่เหลียมจัตุรัสครอบก้อนหิน จงหาปริมาตรปูนน้อยที่สุดที่จะสร้างเป็นพีระมิดได้

[banker]

1.มีธนบัตรราคาฉบับละ 1,5,10,50 เหรียญ รวมกัน 9 ฉบับ โดยมีอย่างน้อยชนิดละ 1 ฉบับ มูลค่ารวมคือ 177 เหรียญ จงหาว่ามีธนบัตรราคา 10 เหรียญกี่ฉบับ

ตอบ 1 ฉบับ


ตอบ มีธนบัตรราคา 10 เหรียญ 1 ฉบับ

[banker]

2.ให้เลือกตัวเลขจาก 1-9 มา 8 จำนวน เพื่อมาเขียนบนจุดยอดของลูกบาศก์จุดละ 1 ตัว โดยให้ผลบวกแต่ละหน้ามีค่า 18 เท่ากัน จงหาว่าตัวเลขที่ไม่ได้ถูกเลือกมาคือตัวเลขใด

ลูกบาศก์ มี 6 หน้า แต่ละหน้ามีผลรวม 18 รวม 6 หน้า ผลรวมเท่ากับ 108

ลูกบาศก์มี 8 จุดยอด แต่ละจุดยอดใช้ตัวเลขซ้ำ 3 ครั้ง

ดังนั้น ผลรวมแต่ละครั้งเท่ากับ $\frac{108}{3} = 36$

$1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$

จึงไม่ได้ใช้เลข 9


ตอบ ตัวเลขที่ไม่ได้ถูกเลือกมาคือ เลข 9

[banker]

3. a,b,c,d พูดเกี่ยวกับตัวเลขตัวหนึ่ง
a: เลขจำนวนนี้คือ 91
b: เลขจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ
c: เลขจำนวนนี้เป็นเลขคู่
d: เลขจำนวนนี้คือ 87
ข้อความของ a,b จริงเพียงข้อความเดียว และข้อความของ c,d จริงเพียงข้อความเดียว
จงหาว่าจำนวนดังกล่าวคือจำนวนใด

ถ้า a เป็นจริง ก็ขัดกับ c, d

ถ้า b เป็นจริง จะเข้าได้กับ c

จำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่คือ 2

ตอบ จำนวนดังกล่าวคือ 2

[banker]

4.จากรูปวงกลมทั้ง 3 เท่ากันทุกประการ มีรัศมียาว 7 ซม. หาพื้นที่แรเงา $(\pi = \frac{22}{7})$

ตัดแปะ

พื้นที่แรเงา เป็นครึ่งวงกลม = 77 ตารางเซนติเมตร

[banker]

5.E มีพิซซ่าอยู่หลายถาด เขาแบ่งพิซซ๋า 1/3 ของที่มีอยู่กับอีก 2/3 ถาดให้ A แบ่ง1/4 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ B แบ่ง 1/2 ของที่เหลือให้ C แบ่ง 1/2 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ D เขาก็เหลือพิซซ่าอยู่ 5 ถาด เดิม E มีพิซซ่าอยู่กี่ถาด

ปกติถ้าทำแบบประถม จะทำแบบย้อนกลับ

แต่คราวนี้เราจะใช้สมการ

ให้มีพิซซ่า $x$ ชิ้น

เขาแบ่งพิซซ๋า 1/3 ของที่มีอยู่กับอีก 2/3 ถาดให้ A

เขาแบ่งพิซซ๋าให้ A เท่ากับ $\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$ ถาด

จะเหลือ $x - ( \frac{x}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2x}{3} -\frac{2}{3} = \frac{2x-2}{3}$ ถาด


แบ่ง1/4 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ B

จะเหลือ $\frac{3}{4} ( \frac{2x-2}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{2x-2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{x-2}{2}$


แบ่ง 1/2 ของที่เหลือให้ C

จะเหลือ $\frac{1}{2} (\frac{x-2}{2} ) = \frac{x-2}{4}$


แบ่ง 1/2 ของที่เหลือกับอีก 1/2 ถาดให้ D

จะเหลือ $\frac{1}{2}(\frac{x-2}{4})-\frac{1}{2} = \frac{x-2}{8} -\frac{1}{2}$ ซึ่งเท่ากับ $5$

$x =46$

ตอบ เดิม E มีพิซซ่าอยู่ 46 ถาด

[banker]

6.มีขวดน้ำผลไม้ 21 ใบ มีน้ำเต็มขวด 7 ใบ น้ำครึ่งขวด 7 ใบ ขวดเปล่า 7 ใบ ให้แบ่งขวดออกเป็น 3 กลุ่มกลุ่มละ 7 ใบ แต่ละกลุ่มต้องมีน้ำเท่ากัน กลุ่มหนึ่งจะมีน้ำครึ่งขวดอยู่มากที่สุด ถามว่ามีกี่ใบ

มีปริมาณน้ำอยู่ 10.5 ขวด

เฉลี่ย กลุ่มละปริมาณน้ำ 3.5 ขวด ดังรูป




ตอบ กลุ่มที่มีน้ำครึ่งขวดอยู่มากที่สุด มีน้ำครึ่งขวดอยู่ 5 ใบ

[banker]

7.ปัจจุบันปู่มีอายุเป็น 7 เท่าของหลาน ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้าปู่จะมีอายุเป็น 6,5,4,3 เท่าของหลานพอดี ถ้าอายุปู่เป็นจำนวนเต็ม 2 หลัก และอายุหลานเป็นจำนวนเต็ม หาว่าปัจจุบันปู่อายุกี่ปี

ปัจจุบันหลาน อายุ x ปี, ปู่อายุ 7x ปี

x ต้องเท่ากับหรือน้อยกว่า 14 (เพราะถ้ามากกว่า 14 ปู้จะมีอายุมากกว่าร้อย)
(และควรมากว่า 6)

อีก a ปี ปู่จะมีอายุเป็น 6 เท่าของหลานพอดี

7x + a = 6(x+a)

x = 5a


อีก b ปี ปู่จะมีอายุเป็น 5 เท่าของหลานพอดี

7x + b = 5(x+b)

x = 2b



อีก c ปี ปู่จะมีอายุเป็น 4 เท่าของหลานพอดี

7x + c = 4(x+c)

x = c


อีก d ปี ปู่จะมีอายุเป็น 3 เท่าของหลานพอดี

7x + d = 3(x+d)

x = d/2

x = 5a, 2b, c, d/2

นั่นแปลว่า x ต้องเป็นจำนวนคู่

ไล่อายุหลานจาก 14, 12, 10, 8, 6, 4 ...
(14 ตัดออกได้ เพราะอีก 2 ปี ปู่ก็จะครบ 100)

12, 8, 6, 4 ตัดออก เพราะ 5 หารไม่ลงตัว

จึงเหลือแค่ x =10

พบว่าถ้าปัจจุบันหลานอายุ 10 ปี ปู่อายุ 70 ปี มีคุณสมบัติดังกล่าว

ตอบ ปัจจุบันปู่อายุ 70 ปี

(ประถมก็ทำอย่างนี้แหละ หรือท่านอื่นมีวิธีคิดอย่างอื่นครับ)

[banker]

8.เลข 4 หลักที่เมื่อลบออกจาก 2010,2000,1990 แล้วเป็นจำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวน จงหาเลขสี่หลักจำนวนนั้น

เมื่อนำจำนวน 4 หลักมาลบออกจาก 2010,2000,1990 แล้วเป็นจำนวนเฉพาะ สามจำนวน คือ a, b, c

a ต่างจาก b เท่ากับ 10

b ต่างจาก c เท่ากับ 10


ระดับประถม ก็มาดูจำนวนเฉพาะที่มีคุณสมบัติดังกล่าว

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29 ....

พบว่า 3, 13, 23, มีคุณสมบัติดังกล่าว

2010 - 23 = 1987

2000 - 13 = 1987

1990 - 3 = 1987

จำนวนนั้นคือ 1987

[poper]

ข้อ 2 ตอบ เลขจำนวนนั้นคือ 2 ครับ
สมมุติ a พูดจริง แสดงว่า จำนวนนั้นคือ 91 b ก็จะพูดเท็จซึ่งเป็นจริงเพราะ 91 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ทีนี้ถ้า c พูดจริง a จะกลายเป็นพูดเท็จซึ่งขัดแย้ง ถ้า c พูดเท็จ dก็จะพูดจริง ก็ขัดแย้งกับที่ a พูดอีก
ดังนั้น a ต่าหากที่พูดเท็จ ทำให้ b พูดจริง คือเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้า c พูดจริง เลขนั้นก็คือ 2 แต่ถ้า c พูดเท็จ d จะพูดจริงแต่87 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะจึงขัดแย้งครับ

[banker]

9.ในการสอบ ข้อสอบมี 25 ข้อ ตอบถูกจะได้ 4 คะแนน ตอบผิดถูกหัก 1 คะแนน ไม่ตอบไม่ได้คะแนน โจโก้ได้ 68 คะแนน เขาตอบผิดอย่างน้อย 1 ข้อ จงหาว่าเขาตอบผิดกี่ข้อ

ถ้าโจโก้ทำทุกข้อ

ถูกทุกข้อ จะได้ 100 คะแนนเต็ม
ผิดหนึ่งข้อจะเหลือ 95 คะแนน
ผิดสองข้อจะเหลือ 90 คะแนน
.
.

จะไม่มีคะแนนเป็น 68

ถ้าโจโก้ไม่ทำหนึ่งข้อ
ทำถูกหมด จะได้ 96 คะแนน
หักผิดหนึ่งข้อ เหลือ 91
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 86 คะแนน
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 81 คะแนน
.
.

จะไม่มีคะแนนเป็น 68

ถ้าโจโก้ไม่ทำสองข้อ
ทำถูกหมด จะได้ 92 คะแนน
หักผิดหนึ่งข้อ เหลือ 87
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 82 คะแนน
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 77 คะแนน
.
.

จะไม่มีคะแนนเป็น 68



ถ้าโจโก้ไม่ทำสามข้อ
ทำถูกหมด จะได้ 88 คะแนน
ผิดผิดหนึ่งข้อ เหลือ 83
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 78 คะแนน
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 73 คะแนน
ถ้าผิดอีก 1ข้อ จะเหลือ 68 คะแนน

ดังนั้นเขาทำ 22 ข้อ ถูก 18 ข้อ ผิด 4 ข้อ ได้ 68 คะแนน

ตอบ เขาตอบผิด 4 ข้อ

[banker]

10.มีพี่น้อง 2 คน น้องอายุ 30-40 ปี พี่อายุ 40-50 ปี ผลคูณอายุเป็นจำนวนกำลังสาม จงหาผลบวกอายุของทั้งสอง

ทำแบบประถม

คนน้องมีอายุระหว่าง 30-40 ปี พี่อายุ 40-50 ปี

แสดงว่า จำนวนกำลังสาม อยู่ระหว่าง 1200 ถึง 2000

จำนวนกำลังสาม จำนวนแรกคือ 11 x 11 x 11 = 1331 ซึ่งไม่มีจำนวน 30-40 คูณกับ จำนวน 40 -50 แล้วได้ 1331

จำนวนกำลังสาม จำนวนต่อไปคือ 12 x 12 x 12 = 1728 จะได้ 36 x 48 = 1728

ดังนั้นน้องอายุ 36 ปี พี่อายุ 48 ปี

จำนวนกำลังสาม จำนวนต่อไปคือ 13 x 13 x 13 = 2197 ซึ่งเกิน 2000




ตอบ ผลบวกอายุของทั้งสอง เท่ากับ 84 ปี

[banker]

11.ชุดของตัวเลข 1,2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,... เป็นชุดของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว จงหาว่าจำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2010 ของชุดตัวเลขนี้คือจำนวนใด

ข้อนี้ไม่รู้คนอื่นทำยังไง

ผมตั้งโมเดลเล็กๆไว้ก่อน

1, 2, 3, 4, ....., 18

$\frac{18}{4} + \frac{18}{6} - \frac{18}{12} = 4 + 3 - 1 = 6$

ดังนั้นจำนวนที่ หารด้วย 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว มี 18 - 6 = 12 จำนวน


ถ้าต้องการ 2010 จำนวน ก็เอา 12 ไปหาร จะได้ 167.5

ซึ่งเมื่อคูณกับ 18 จะได้ 3015

เมื่อตรวจสอบแบบข้างต้น จะได้

$\frac{3015}{4} + \frac{3015}{6} - \frac{3015}{12} = 753 + 502 - 251 = 1004$

ดังนั้นจำนวนที่ หารด้วย 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว มี 3015 - 1004 = 2011จำนวน

ลดลงมาหนึ่งจำนวน เป็น 3014

$\frac{3014}{4} + \frac{3014}{6} - \frac{3014}{12} = 753 + 502 - 251 = 1004$

ดังนั้นจำนวนที่ หารด้วย 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว มี 3014 - 1004 = 2010 จำนวน

(ตรวจสอบแล้ว 3014 หารด้วย 4 หรือ 6 หรือ 12 ไม่ลงตัว)



ตอบ จำนวนที่อยู่ในลำดับที่ 2010 ของชุดตัวเลขนี้คือ 3014


ในห้องสอบ ก็มั่วๆแบบนี้แหละ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

ท่านอื่นมีแนวคิดดีๆไหมครับ