โจทย์ analysis ช่วยคิดหน่อยครับ

[HIGG BOZON]

1. ถ้า $f : R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยที่ $\left|\,f'(x)\right| < \frac{1}{x^2+1} $
แล้วจงพิสูจน์ว่า $f(x)$ มีขอบเขต

2. กำหนดให้ $A = \left\{\,f\in C^1[-1,1]| \left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10\right\} $
2.1 จงแสดงว่าทุกๆลำดับของฟังก์ชันจากเซต A มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
2.2 ถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ จงอธิบายว่าลิมิตของลำดับนั้นจำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A หรือไม่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

1. ถ้า $f : R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยที่ $\left|\,f'(x)\right| < \frac{1}{x^2+1} $
แล้วจงพิสูจน์ว่า $f(x)$ มีขอบเขต

Let $x\geq 0$.

By using the Fundamental Theorem of Calculus, we have

$\displaystyle{f(x)=\int_{0}^xf'(t)\,dt+f(0)}$.

Thus

$\displaystyle{|f(x)|\leq\Big|\int_{0}^xf'(t)\,dt\Big|+|f(0)|}$

$\displaystyle{\leq\int_{0}^x|f'(t)|\,dt+|f(0)|}$

$\displaystyle{<\int_{0}^x\dfrac{1}{1+t^2}\,dt+|f(0)|}$

The same idea for $x<0$.

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

2. กำหนดให้ $A = \left\{\,f\in C^1[-1,1]| \left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10\right\} $
2.1 จงแสดงว่าทุกๆลำดับของฟังก์ชันจากเซต A มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
2.2 ถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ จงอธิบายว่าลิมิตของลำดับนั้นจำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A หรือไม่

คำว่า"ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์" หมายถึงอะไรเหรอครับ ใช่ absolute converge รึเปล่าครับ
นั่นคือ ถ้าเราพูดว่า "$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์" นั่นหมายความว่า "ทุก $x$(ที่อยู่ในโดเมน)
ทุก $\varepsilon >0$ มี $N>0$ ที่ทำให้ เมื่อ $m,n>N$ จะได้ว่า $||f_m(x)|-|f_n(x)||<\varepsilon $ " รึเปล่าครับ

แล้วสำหรับ Uniform converge ภาษาไทยเรียกว่าอะไรหรือครับ
(ในที่นี้ ถ้าเราพูดว่า "$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$ Uniform converge" นั่นหมายความว่า "
ทุก $\varepsilon >0$ มี $N>0$ ที่ทำให้ เมื่อ $m,n>N$ จะได้ว่า $|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon $ สำหรับทุก $x$(ที่อยู่ในโดเมน) ")

สำหรับข้อ 2.1 ผมพิสูจน์ออกมาได้ข้อสรุปที่ Strong กว่าคือ "มีลำดับย่อยที่ Uniform converge"
สำหรับข้อ 2.2 ผมไม่แน่ใจว่าตัวอย่างผมถูกหรือเปล่า รบกวนช่วยเช็คกันด้วยยนะครับ

$f_n(x) = \cases{0 &,x\in [-\frac {1}{n},\frac {1}{n}] \cr \frac {n}{2}(x-\frac {1}{n})^2 & , x\in [\frac {1}{n},\frac {2}{n}] \cr \frac {n}{2}(x+\frac {1}{n})^2 & , x\in [-\frac {2}{n},-\frac {1}{n}] \cr x-\frac {3}{2n} &, x\in [\frac {2}{n},1] \cr -x-\frac {3}{2n} &, x\in [-1,-\frac {2}{n}]}$

สามารถแสดงได้ว่า $f_n \in A$(ทุก n)และลู่เข้าหาฟังก์ชัน $abs(x)$ (หรือ$|x|$)
แต่ว่า $abs(x) \not\in A$ (เพราะว่า หาอนุพันธ์ที่จุด $x=0$ ไม่ได้)

[Anarist]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

2. กำหนดให้ $A = \left\{\,f\in C^1[-1,1]| \left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10\right\} $
2.1 จงแสดงว่าทุกๆลำดับของฟังก์ชันจากเซต A มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
2.2 ถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ จงอธิบายว่าลิมิตของลำดับนั้นจำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A หรือไม่

ผมก็เห็นด้วยกับคุณ picmy ว่าข้อ 2 น่าจะหมายถึง uniform convergence เพราะพูดถึงการลู่เ้ข้าของลำดับของฟังก์ชัน (ซึ่งผมก็ไม่รู้ชื่อภาษาไทย) ยังไงก็ขอแปล อย่างสัมบูรณ์ เป็น uniform สำหรับข้อนี้นะครับ

2.1 สำหรับข้อนี้สามารถ apply ทฤษฏีบทสำคัญของ Analysis คือ Arzela-Ascoli theorem ได้

ขั้นที่ 1 ใส่ norm ให้ $f \in C^1[-1,1]$ โดย $\left\Vert\ f \right\Vert = \sup_{x \in [-1,1]} \left|\ f(x) \right|$
จะเห็นว่า $f_n \rightarrow f$ in this norm iff $f_n \rightarrow f$ uniformly
สำหรับแต่ละ $f$ ใน $A$ จะได้ว่า $\left|\ f(x) \right| \leq 10$ สำหรับทุก $x$ ดังนั้น $\left\Vert\ f \right\Vert \leq 10$
สมบัตินี้เรียกว่า A is uniformly bounded

ขั้นที่ 2 เราจะใช้ว่าแต่ละ $f \in A$, $\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ และเทคนิคเหมือนข้อหนึ่ง
สำหรับ $d>0$, $\left|\,f(x+d) - f(x) \right| = \left|\,\int_{x}^{x+d}\,f'(t) dt \right| \leq \int_{x}^{x+d}\,\left|\, f'(t) \right| dt \leq 10d$
และคล้ายๆกัน $\left|\,f(x-d) - f(x) \right| \leq 10d$
สมบัตินี้เรียกว่า A is equicontinuous

ขั้นสุดท้าย เนื่องจาก $A$ uniformly bounded and equicontinuous, Arzela-Ascoli theorem บอกว่า every sequence in A has a uniformly convergent subsequence สำหรับพิสูจน์ของทฤษฏีบทนี้ดูได้ในลิงก์ wikipedia หรือ textbook ทั่วไป

ลืมบอกไปอย่างนึงคือ hypothesis ที่สำคัญของ Arzela-Ascoli theorem อีกข้อคือ แต่ละฟังก์ชั่นใน A ต้องนิยามบน compact set ด้วยครับ ในกรณีของเราคือ $[-1,1]$

เพิ่มเติมนิดหน่อยว่า every sequence in A has a uniformly convergent subsequence เทียบเท่ากับ A is compact as a metric space with $d(f,g) = \left\Vert\ f-g \right\Vert$ the above norm.

และ เซต A เป็นตัวอย่างกลายๆ ของ Sobolev space ครับ

2.2 ถ้าเป็น uniform convergence ก็น่าจะจริงนะครับ เพราะอย่างแรก if $f_n \in C^1$ and $f_n \rightarrow f$ uniformly, then $f \in C^1$
ส่วน $\left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ เป็น pointwise property และเครื่องหมายเป็นน้อยกว่าหรือเท่ากับ ก็น่าจะไม่มีปัญหาอะไร

สำหรับ 2.1 น่าจะมีพิสูจน์ที่ไม่ต้องอ้่าง Arzela-Ascoli theorem นะครับ แต่ไอเดียน่าจะคล้ายๆกัน คือใช้ความ uniformly bounded, equicontinuous, compactness of $[-1,1]$ แต่ถ้าเราจะใช้นิยาม pointwise absolute convergence ก็อาจจะง่ายขึ้นอีก (และ 2.2 ก็ไม่น่าจะจริง)

[picmy]

ผมเห็นด้วยกับคุณ Anarist ครับที่ใช้ Arzela-Ascoli theorem
แต่ผมติดอยู่ตรงที่ว่า ในที่นี้ $A\subset C^1[-1,1]\subset C[-1,1]$ โดยที่ $C^1[-1,1]\not= C[-1,1]$
การที่เราใช้ Arzela-Ascoli theorem ทำให้เราสรุปได้ว่า มีลำดับย่อยที่ convergence uniformlyใน $C[-1,1]$
แต่ผมคิดว่าอาจจะสรุปไม่ได้ว่า ลำดับย่อยนั้นจะยัง convergence uniformly ใน $C^1[-1,1]$อยู่

อันที่จริงแล้วตัวอย่างข้างบนที่ผมให้มานั้น convergence uniformly to $abs(x)$ (ถ้าผมคิดไม่พลาดนะคับ) ซึ่งเห็นได้ชัดว่า $abs(x) \in C[-1,1]$ แต่ว่า $abs(x) \not\in C^1[-1,1]$

[Anarist]

จริงครับ ตัวอย่างของคุณ picmy ถูกต้องเลย สวยมากด้วย ผมพลาดจุดนี้ไป

ถ้าจะให้ $\left\{\,f_{n}\right\}$ converges uniformly ใน $C^1[-1,1]$ ต้องให้ $\left\{\,f_{n}'\right\}$ converges uniformly ด้วย ซึ่งส่วนใหญ่ต้องใช้ uniform bound on second derivative

แต่ผมกำลังงงอยู่คือ ผม quote มาจาก Wikipedia ว่า
"Let X be a compact metric space, Y a metric space. Then a subset F of C(X,Y) is compact in the compact-open topology if and only if it is equicontinuous, pointwise relatively compact and closed"

ในกรณีของเรา A ก็น่าจะ compact ด้วย แล้วก็ุถ้า X,Y metric space and X compact แล้ว compact-open topology ของ C(X,Y) จะ้เทียบเท่ากับ topology of uniform convergence (จากหน้านี้)

ซึ่งผมก็คิดว่า topology ของ C(X,Y) ที่เกิดจาก sup norm ก็น่าจะ้เหมือนกับ topology of uniform convergence แล้วใน metric space เราก็มีว่า compact $\Leftrightarrow $ complete and totally bounded เพราะฉะนั้นถ้า A compact แล้วมันก็ต้อง complete ด้วย!

ก็รบกวนช่วยกันดูหน่อยนะครับ ผมก็จะไปอ่านให้ละ้เอียดๆเพิ่่มอีก แต่ผมว่าตัวอย่างนี้น่าจะทำให้ผมเข้าใจเพิ่มขึ้นอีกมากมาย

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anarist

แต่ผมกำลังงงอยู่คือ ผม quote มาจาก Wikipedia ว่า
"Let X be a compact metric space, Y a metric space. Then a subset F of C(X,Y) is compact in the compact-open topology if and only if it is equicontinuous, pointwise relatively compact and closed"
ในกรณีของเรา A ก็น่าจะ compact ด้วย

ผมไม่แน่ใจนะครับว่าเข้าใจถูกรึเปล่า แต่ผมคิดว่าการที่เราจะพิสูจน์ว่า A เป็น compact นั้น ยังมีอีกเงื่อนไขนึงที่ต้องเช็คคือเงื่อนไข "closed" ซึ่งก็สมมูลกับการที่เราจะตอบปัญหาในข้อ 2.2 (ที่จริงแล้วนิยามของ "closed" มีหลายเวอร์ชันที่สมมูลกัน แต่ในที่นี้ ผมข้ออ้างเป็น "a set is closed if and only if it contains all of its limit points")
ซึ่งในคำตอบของ กรณีข้อ2.2 คือ"ไม่จำ้เป็น" ดังนั้นผมคิดว่า A ไม่น่าจะ compact คับ

[nooonuii]

uniform convergence ภาษาไทยคือ การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ ครับ

คิดว่าคงหมายความว่าอย่างนั้น โจทย์ข้อนี้คงต้องการให้เราพิสูจน์ว่า

$A$ ไม่ compact ใน $C^1[-1,1]$ นั่นแหละครับ

[HIGG BOZON]

ขอบคุณทุกคนที่ช่วยกันตอบนะครับ
โทษทีนะครับ....ผมใช้คำผิด ในโจทย์ต้องการหมายถึง uniformly convergent น่ะครับ
ข้อ 2 ผมอ่านแล้วงงๆ จังเลยครับ ผมว่าโจทย์ในที่นี้น่าจะต้องการให้พิสูจน์โดยใช้ความรู้ analysis ระดับ undergraduate นะครับ....ผมยังไม่ได้เรียนพวก Arzela-ascoli Theorem เลยครับ...แต่ก็ขอบคุณมากนะครับ..ทำให้ผมจุดประกายความคิดด้าน analysis มากเลยครับ....รู้สึกว่ายังต้องไปศึกษาเพิ่มเติมอีกมากเลยครับ
ผมว่าการพิสูจน์ในด้าน analysis นี่ละเอียดอ่อนกว่าการพิสูจน์ด้าน algebra จังเลยครับ...ทำความเข้าใจยาก...หาตัวอย่างค้านก็ยากจังครับ ....
ปล.1 ตกลงว่าข้อ 2.2 นี่จำเป็นรึเปล่าครับ????
ปล.2 คุณ nooonuii เรียน PhD. ที่ U. of Maryland ทำวิจัยเกี่ยวกับด้านไหนเหรอคับ???
( ผมกำลังอ่าน My maths คอลัมน์พี่อยู่เลย...การแก้อสมการเศษส่วนของพหุนามโดยใช้เมตริกซ์ )
ปล.3 คุณ picmy เด็กกว่าผม 1 เดือนพอดีเลย....แต่เก่งจังเลยครับ...
ปล.4 คุณ Anarist เรียนที่ MIT เหรอคับ...สถาบันในฝันผมเลย
( คิดว่า math ที่ MIT กับ Princeton ใครเจ๋งกว่ากันครับ???...ถามความคิดเห็นส่วนตัวเล่นๆน่ะครับ )
ปล.5 ตอนนี้ทั้ง 3 คนเป็น idol ของผมไปแล้วครับ......

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ปล.2 คุณ nooonuii เรียน PhD. ที่ U. of Maryland ทำวิจัยเกี่ยวกับด้านไหนเหรอคับ???

ผมทำทาง Dynamical Systems ครับ

ปัญหาที่ผมทำอยู่เป็น conjecture อันหนึ่งใน Symbolic Dynamics

แต่ตอนนี้ปัญหากลายพันธุ์เป็นปัญหาทาง Geometry ของ Simplex

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

...
ปล.1 ตกลงว่าข้อ 2.2 นี่จำเป็นรึเปล่าครับ????
...
ปล.5 ตอนนี้ทั้ง 3 คนเป็น idol ของผมไปแล้วครับ......

คุณHIGG BOZON ยกย่องผมเกินไปแล้วหละครับ (ขอบคุณมากนะครับ)
ถ้าคุณHIGG BOZON สนใจเกี่ยวกับ Arzela-ascoli Theorem สามารถหาอ่านได้ในหนังสือเรื่อง Functional analysis นะครับ ซึ่งที่จริงแล้ว Arzela-ascoli Theorem เป็นทฤษฎีพื้นฐานและสำคัญมากทฤษฎีนึงเลยครับในหัวข้อนี้

ส่วนคำตอบของข้อ 2.2 ก็คือถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A คอนเวอจ uniformly แล้วลิมิตของลำดับนั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A
ซึ่งตัวอย่างค้านก็คือตัวอย่างที่ผมได้ให้ไว้แล้วครั้งหนึ่งในข้างต้น

$f_n(x) = \cases{0 &,x\in [-\frac {1}{n},\frac {1}{n}] \cr \frac {n}{2}(x-\frac {1}{n})^2 & , x\in [\frac {1}{n},\frac {2}{n}] \cr \frac {n}{2}(x+\frac {1}{n})^2 & , x\in [-\frac {2}{n},-\frac {1}{n}] \cr x-\frac {3}{2n} &, x\in [\frac {2}{n},1] \cr -x-\frac {3}{2n} &, x\in [-1,-\frac {2}{n}]}$

สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f_n \in A$ (ทุก n) และ $f_n$ converge uniformly to $abs(x)$ แต่ $abs(x) \not\in A$

ผมขอเพิ่มเติมถึงการพิสูจน์ในข้อ 2.1นะครับว่า เราสามารถพิสูจน์โดยไม่ใช้ Arzela-ascoli Theorem ได้ แต่แน่นอนว่าวิธีการอาจจะไม่กระทัดรัดเท่าไหร่นัก ข้างล่างได้แสดงขั้นตอนโดยคร่าวๆ
ขั้นตอนที่ 1 สามารถใช้เงื่อนไข$\left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้างล่างได้
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m และทุกลำดับของเซต A (สมมติว่าเป็น $f_1,f_2,...,f_n,...$)จะสามารถหาลับดับย่อย $f_{n_1},f_{n_2},...,f_{n_k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{n_i}(x)-f_{n_j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^m}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ได้
ขั้นตอนที่ 2 สมมติว่าเรามีลำดับในเซต A คือ $f_1,f_2,...,f_n,...$
ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_1,f_2,...,f_n,...$) $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{1,i}(x)-f_{1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$

ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ) $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{2,i}(x)-f_{2,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$

ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ) $f_{3,1},f_{3,2},...,f_{3,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{3,i}(x)-f_{3,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^3}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$

................................

ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ ) $f_{t+1,1},f_{t+1,2},...,f_{t+1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{t+1,i}(x)-f_{t+1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^{t+1}}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$
.................................
ขั้นตอนที่ 3 เราสามารถเลือกลำดับย่อยของ $f_1,f_2,...,f_n,...$ เป็น $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ (ในที่นี้ $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ เป็นฟังก์ชันที่ถูกกล่าวถึงในขั้นตอนที่ 2)
ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า$f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ converge uniformly (สังเกตในขั้นตอนที่ 2)

[Anarist]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ขอบคุณทุกคนที่ช่วยกันตอบนะครับ
ข้อ 2 ผมอ่านแล้วงงๆ จังเลยครับ ผมว่าโจทย์ในที่นี้น่าจะต้องการให้พิสูจน์โดยใช้ความรู้ analysis ระดับ undergraduate นะครับ....ผมยังไม่ได้เรียนพวก Arzela-ascoli Theorem เลยครับ...แต่ก็ขอบคุณมากนะครับ..ทำให้ผมจุดประกายความคิดด้าน analysis มากเลยครับ....รู้สึกว่ายังต้องไปศึกษาเพิ่มเติมอีกมากเลยครับ
ผมว่าการพิสูจน์ในด้าน analysis นี่ละเอียดอ่อนกว่าการพิสูจน์ด้าน algebra จังเลยครับ...ทำความเข้าใจยาก...หาตัวอย่างค้านก็ยากจังครับ ....

เผอิญผมเพิ่งเรียนๆทฤษฏีนี้มา เลยอยากลองประยุกต์ใช้ดู แต่จริงๆแล้วก็ใช้ความรู้ undergrad พิสูจน์ข้อนี้ได้ครับ โดยคุณ picmy แสดงไว้ข้างบนแล้ว ซึ่งตัวไอเดียสามารถใช้ในเคสทั่วไป และนำไปสู่ Arzela-Ascoli theorem ครับ (การต่อยอดแบบนี้คือเอกลักษณ์ของ pure math เลยแหละครับ)

ส่วนระหว่าง analysis กับ algebra มันก็คนละรสชาติกัน แล้วแต่ความคุ้นเคยครับ แตุ่ถ้าจะศึกษาต่ิอไปเรื่อยๆ ก็ควรจะต้องพยายามรู้กว้างๆไว้ ยิ่งตอน undergrad ก็น่าจะลองเยอะๆ จะได้รู้ว่าอยากทำต่อด้านไหน

ผมก็ analysis ไม่แข็งแรงมาก แต่ก็ต้องใช้ในด้านที่ศึกษาพอสมควร

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ปล.4 คุณ Anarist เรียนที่ MIT เหรอคับ...สถาบันในฝันผมเลย
( คิดว่า math ที่ MIT กับ Princeton ใครเจ๋งกว่ากันครับ???...ถามความคิดเห็นส่วนตัวเล่นๆน่ะครับ )

ครับ
ทั้งสองที่โดยรวมก็เจ๋งทั้งคู่นะครับ ส่วนถ้าดูเป็นสาขา ผมว่าอย่าง algebra & number theory ด้าน Princeton น่าจะเด่นกว่า ส่วน MIT ก็น่าจะเด่นด้าน geometry, topology, applied math มากกว่านะครับ อันนี้ความส่วนตัวแบบคร่าวๆนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ picmy

ผมไม่แน่ใจนะครับว่าเข้าใจถูกรึเปล่า แต่ผมคิดว่าการที่เราจะพิสูจน์ว่า A เป็น compact นั้น ยังมีอีกเงื่อนไขนึงที่ต้องเช็คคือเงื่อนไข "closed" ซึ่งก็สมมูลกับการที่เราจะตอบปัญหาในข้อ 2.2 (ที่จริงแล้วนิยามของ "closed" มีหลายเวอร์ชันที่สมมูลกัน แต่ในที่นี้ ผมข้ออ้างเป็น "a set is closed if and only if it contains all of its limit points")
ซึ่งในคำตอบของ กรณีข้อ2.2 คือ"ไม่จำ้เป็น" ดังนั้นผมคิดว่า A ไม่น่าจะ compact คับ

ขอบคุณ คุณ picmy และ nooonuii อีกครั้ง ที่ช่วยให้ความกระจ่าง
ผมนึกว่า closed ในนั้นเป็น pointwise closed ซึ่งแบบที่ถูกก็ make sense กว่ามาก