ข้อสอบ สมาคม พ.ศ.2553 ม.ต้น

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ตรงที่สรุปว่ามี k ค่าเดียว เมื่อ $16-3q^2=0 $ มันแปลกๆอยู่นะครับ เพราะเราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับ q เลย

$q$ คือตัวเลขที่หายไปในกระดาษ (ถ้ากระดาษไม่ขาด แสดงว่า มีค่าของ $q$ กำกับไว้อยู่)
ถ้า $q$ เป็นค่าอื่นนอกจาก $\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$
จะทำให้ $k$ มีสองค่า ซึ่งไม่ตรงกับที่โจทย์กำหนดว่า $k$ เป็นไปได้เพียงค่าเดียว
รึเปล่าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

$q$ คือตัวเลขที่หายไปในกระดาษ (ถ้ากระดาษไม่ขาด แสดงว่า มีค่าของ $q$ กำกับไว้อยู่)
ถ้า $q$ เป็นค่าอื่นนอกจาก $\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$
จะทำให้ $k$ มีสองค่า ซึ่งไม่ตรงกับที่โจทย์กำหนดว่า $k$ เป็นไปได้เพียงค่าเดียว
รึเปล่าครับ

คือผมมองอย่างนี้ครับ ในเมื่อเราไม่รู้ว่า$ \frac{a-c}{b} $ คืออะไร ดังนั้น การเกิด $q=\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ก็ไม่มีอะไรยืนยันว่าจะเกิดจริง

ในกระดาษที่หายไป อาจเขียนว่า $a-c:b = 1:2$ ก็ได้ ซึ่งเท่ากับว่าที่ทดมาแต่แรก เหนื่อยฟรี

ดังนั้นผมจึงไม่ยุ่งกับสมการที่ 2 เลย และหาค่า k จากสมการแรกเท่านั้น ซึ่งก็เป็นวิธีเดียวกับของคุณ xx Gamma xx

[nuttida_Muangmoon]

ใครมีเฉลยละเอียดบ้างเอ่ย???

[Noviceboy]

ขอบคุณที่ช่วยแปลภาษาให้สวยนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ลองอ่านวิธีทำดูแล้ว มาสะดุดตรงบรรทัดที่ quote มาครับ



ทำไมถึงเลือก 2 ทั้งๆที่อาจจะเป็นจำนวนจริงอื่นก็ได้ในช่วงนั้น

ก็เพราะพอผมเห็นโจทย์ผมก็เกิดความคิดว่าถ้าa=b=cแล้วข้อความจะเป็นจริง และจะได้ว่าa+b:c=2:1 ผมก็เลยเลือกให้ a+b=2c ตามสมมุติฐานครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Noviceboy

ก็เพราะพอผมเห็นโจทย์ผมก็เกิดความคิดว่าถ้าa=b=cแล้วข้อความจะเป็นจริง และจะได้ว่าa+b:c=2:1 ผมก็เลยเลือกให้ a+b=2c ตามสมมุติฐานครับ

ถ้า a,b,c ไม่เท่ากัน ข้อความอาจเป็นจริงก็ได้ครับ

อย่าลืมว่าสมการเดียว แต่มีตั้ง 3 ตัวแปร กำหนด a,b ได้มากมายมหาศาล แล้วก็แก้สมการหา c ได้ ไม่จำเป็นที่ a=b=c แล้วสมการจะเป็นจริง

[BLACK-Dragon]

เอ่อข้อนี้ผมลองคิดดูว่าถ้า $\frac{a+c}{a+b}=\frac{b+c}{a+c}$ มันเท่ากันทั้งเหมือนกับ
$\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$-----* แต่ถ้าสมมุติมันเป็นสมการแบบ
$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$-----**(ผมคิด $a,b,c$ ไม่น่าจะเท่ากัน)
ถ้ามันเป็นแบบ * $a=b=c$ ผมก็อธิบายไม่ถูกว่าจะต้องอธิบายยังไง

[Noviceboy]

ไม่ใช่คับ ผมแค่ลองหาค่าที่มันน่าจะเป็นไปได้ แค่รู้ว่ามันมีจริงก็เพียงพอแล้ว เพราะว่า โจทย์นั้นกำหนดเองครับว่ามันมีคำตอบเดียว

แค่หาว่ามันน่าจะเป็น2 และพอคิดสมการก็ได้a=b=cไงคับและพอแทนก็เป็นจริงและเป็นค่าเดียวตามโจทย์ไงคับ ผมอธิบายงงป่าว

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

คือผมมองอย่างนี้ครับ ในเมื่อเราไม่รู้ว่า$ \frac{a-c}{b} $ คืออะไร ดังนั้น การเกิด $q=\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ก็ไม่มีอะไรยืนยันว่าจะเกิดจริง

ในกระดาษที่หายไป อาจเขียนว่า $a-c:b = 1:2$ ก็ได้ ซึ่งเท่ากับว่าที่ทดมาแต่แรก เหนื่อยฟรี

ดังนั้นผมจึงไม่ยุ่งกับสมการที่ 2 เลย และหาค่า k จากสมการแรกเท่านั้น ซึ่งก็เป็นวิธีเดียวกับของคุณ xx Gamma xx

มามั่วครับ (อย่าดูมาก เค้าอาย)
ถ้าเป็นจริงตามที่พี่ passer-by ว่าคือในกระดาษเขียนว่า $a-c:b=1:2$
จากเหตุไปสู่ผล ถ้า$\frac{a-c}{b}=\frac{1}{2}$ แล้ว $\frac{a+c}{b}=\frac{4\pm \sqrt{61}}{6}$
จากผลไปสู่เหตุ ถ้า$\frac{a+c}{b}=\frac{4\pm \sqrt{61}}{6}$ แล้ว $\frac{a-c}{b}=\pm \frac{1}{2}$

แต่ผมว่าอาจจะหมายถึงอย่างงี้ก็ได้ $a+c:b=1:2$
จากเหตุไปสู่ผล ถ้า$\frac{a+c}{b}=\frac{1}{2}$ แล้ว $\frac{a-c}{b}=\frac{\pm \sqrt{21}}{2}$
จากผลไปสู่เหตุ ถ้า$\frac{a-c}{b}=\frac{\pm \sqrt{21}}{2}$ แล้ว $\frac{a+c}{b}=\pm \frac{1}{2}$

เพราะฉะนั้น คำตอบ $1:2$ จึงเป็นไปไม่ได้ (เพราะถ้าสมมุติคุณแทน a-c/b ที่ได้ตอนแรก ไปยังโจทย์แล้วหา a+c/b อีกรอบ มันไม่ได้มีค่าเดียวตามที่โจทย์บอก (ไม่ได้ระแวงนะ ตรวจคำตอบเฉ๊ยเฉย))

ต่อมาถ้า $a+c:b=2:1$ เป็นจริง
จากเหตุไปสู่ผล ถ้า$\frac{a+c}{b}=2$ แล้ว $\frac{a-c}{b}=0$
จากผลไปสู่เหตุ ถ้า$\frac{a-c}{b}=0$ แล้ว $\frac{a+c}{b}= 2,\frac{-2}{3}$

ก็ไม่จริงอีกเพราะ a+c:b ไม่ได้มีค่าเดียว

ต่อมากรณีน้องเจมส์ คำตอบ a+c:b=2:3
จากเหตุไปสู่ผล ถ้า$\frac{a+c}{b}=\frac{2}{3}$ แล้ว $\frac{a-c}{b}=\frac{\pm 4}{\sqrt{3}}$
จากผลไปสู่เหตุ ถ้า$\frac{a-c}{b}=\frac{\pm 4}{\sqrt{3}}$ แล้ว $\frac{a+c}{b}=\frac{2}{3}$

อันนี้ใช้ได้ เพราะมันมีค่าเดียวจริงๆ และตัวที่หายไปในกระดาษคือ $\frac{4}{\sqrt{3}}$ ไม่ก็ $-\frac{4}{\sqrt{3}}$

และแล้วการมั่วของผมก็มาอีกว่า ถ้าผมเดาว่า $a-c:b=2$ ไม่ก็ $a-c:b=-2$
ผมจะได้ $a+c:b=4:3$ ค่าเดียวอีกเช่นกัน
เฮ้ออออ!! มั่วมานานล่ะ ขี้เกียจทำต่อ ตอบสองคำตอบพอล่ะครับ 2:3 กับ 4:3

ปล. ไม่ได้มีเจตนาเสียดสีหรือประชดประชันใคร
ปล.2 นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวเท่านั้นนะคับ อย่าทำร้ายยผม

[Noviceboy]

แปปครับ รู้ได้ไงว่า a−c:b=1:2 มานไม่เหนบอกเลย

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Noviceboy

แปปครับ รู้ได้ไงว่า a−c:b=1:2 มานไม่เหนบอกเลย

ไม่รู้ครับ ผมเห็นพี่ passer-by โพสมา ก็เลยลองดูแค่นั้นอ่ะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ต่อมากรณีน้องเจมส์ คำตอบ a+c:b=2:3
จากเหตุไปสู่ผล ถ้า$\frac{a+c}{b}=\frac{2}{3}$ แล้ว $\frac{a-c}{b}=\frac{\pm 4}{\sqrt{3}}$
จากผลไปสู่เหตุ ถ้า$\frac{a-c}{b}=\frac{\pm 4}{\sqrt{3}}$ แล้ว $\frac{a+c}{b}=\frac{2}{3}$

อันนี้ใช้ได้ เพราะมันมีค่าเดียวจริงๆ และตัวที่หายไปในกระดาษคือ $\frac{4}{\sqrt{3}}$ ไม่ก็ $-\frac{4}{\sqrt{3}}$

โอเคครับ ผมพอจะเข้าใจ ประเด็นของข้อนี้แล้วล่ะ

(1) วิธีที่คุณ xx Gamma xx (รวมทั้งที่ผมคิดไว้ตอนแรก) ยังมีข้อผิดพลาดอยู่ตรงที่ว่า เราไม่สามารถสรุปให้ค่า discriminant ของสมการ =0 เพื่อให้ได้คำตอบเดียวได้ เพราะการให้คำตอบเดียวของข้อนี้ อาจหมายถึง การได้ 2คำตอบแต่มีคำตอบนึงใช้ไม่ได้ เนื่องจากไม่สอดคล้องกับ $\frac{a-c}{b}$ ที่หายไป

ถ้า follow ตามวิธีของคุณ xx Gamma xx และหาค่า $\frac{a-c}{b}$ ออกมา จะได้ $\pm \frac{\sqrt{21}}{2}$ ซึ่งถึงแม้ ส่วนที่หายไปจะเป็น $ \frac{a-c}{b} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$ จริง ก็ยังขัดแย้งกับ การมี k ค่าเดียว ตามสมการที่น้อง James 007 เขียนไว้


ดังนั้น สรุปว่า พระเอกของข้อนี้คือสมการ $ (3k-2)^2= 16-3q^2$ ที่น้อง James 007 เขียนไว้

(2) ผมคิดว่า เจตนาของคนตั้งโจทย์ข้อนี้อยู่ตรง อยากให้คนคิด สร้างสมการนี้ให้ได้ เลยให้ $a-c:b=...$ ทิ้งไว้เป็น guide และพอได้สมการนี้แล้ว ก็จะรู้ว่า ถ้าต้องการ k ค่าเดียว ต้องเลือก q เป็นเท่าไหร่ และถ้าโจทย์ กำหนด q เป็นตัวอื่นที่ไม่ใช่ค่านี้ ก็จะขัดแย้งกันเองกับที่บอกว่า มี k ค่าเดียว

เท่ากับว่า ที่ผม comment น้อง James 007 ไป ตอนนี้เข้าใจประเด็นแล้วว่า การกำหนดค่า q ก็ทำสุ่มสี่สุ่มห้าไม่ได้ด้วย เพราะจะขัดแย้งกันเอง

ข้อนี้ ก็ถือว่าน้อง James 007 ได้เครดิตไปเต็มๆ และผมก็หมดข้อคาใจทั้งปวงแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ 40 ดูวิธีของน้องJames007แล้วสมการพระเอกอย่างที่คุณpasser-byบอกคือ$(3k-2)^2=16-3q^2$
ผมว่าน่าจะกระจายออกมาเป็น $9k^2-12k+(3q^2-12)=0$
ค่า$k$เหลือเพียงค่าเดียวเมื่อ $144-4(9)(3q^2-12)=0$
$576-108q^2=0 \rightarrow 16-3q^2=0 \rightarrow q=\pm \frac{4}{\sqrt{3} } $
ได้ค่า$k=\frac{12}{18} =\frac{2}{3} $

ตอนแรกผมก็ทำเหมือนน้องGAMMA แต่พอกลับมาตรวจสอบแล้วขั้นตอนที่ผิดน่าจะเป็นที่มาร์คไว้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

ผมทำอะไรผิดครับเนี่ย
จาก$\frac{a+c}{a+b}=\frac{b+c}{a+c} $
$(a+c)^2=b(a+c)+(b^2+ac)$
$(\frac{(a+c)}{b})^2=\frac{a+c}{b}+(1+\frac{ac}{b^2}) $
ให้$\frac{a+c}{b}= x$
$x^2-x-(1+\frac{ac}{b^2} )=0$ ........ตรงนี้ที่มีปัญหาครับ
$x=\frac{1\pm \sqrt{.......} }{2} $
จากxมีค่าเดียว
$\sqrt{......}=0 $
$x=1/2$
$a+c:b=1:2$

ตรงที่มาร์คไว้นั้นถ้าจะใช้เงื่อนไข $\frac{a+c}{b}= x$ ก็ต้องแปลง $\frac{ac}{b^2} $ ให้อยู่ในรูปตัวแปรของ$x$ ก่อนจะไปเข้าสูตร ผมก็หลงไปทางนี้เหมือนกัน

[RT OSK]

ใช้วิธีของสองคนมารวมกัน

ให้ $a + c = mb$
$a - c = nb$
จะได้ $ac = \frac{m^2b^2}{4} - \frac{n^2b^2}{4}$

จาก $\frac{a + c}{a + b} = \frac{b + c}{a + c}$
$(a + c)^2 = b(a + c) + b^2 + ac$
$m^2b^2 = mb^2 + b^2 + \frac{m^2b^2}{4} - \frac{n^2b^2}{4}$
ได้ $3m^2 - 4m + (n^2 - 4) = 0$
$m$ มีคำตอบเดียว $m = - \frac{-4}{2\times 3} = \frac{2}{3}$

และจะได้ $n = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$
ย้อนไปตรวจคำตอบโดยหลักเดียวกัน
จะได้ $9m^2 - 12m + 4 =0$

[RT OSK]

ให้ท่อนบนที่แหว่งไป มีความยาวต่างๆ เป็น 1 ส่วน
ท่อนกลาง และ ล่าง มีความยาวต่างๆ เป็น m เท่าของท่อนบน

จะได้สมการปริมาตร คือ
$\frac{(2m + 1)^3 - (m + 1)^3}{(m + 1)^3 - 1} = 3$
ได้ $m = \frac{\sqrt{6} }{2}$

เอาไปแทนค่าในสมการพื้นที่ คือ
$\frac{(2m + 1)^2 - (m + 1)^2}{(m + 1)^2 - 1} = -\frac{1}{5} + \sqrt{\frac{96}{25}}$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

ให้ท่อนบนที่แหว่งไป มีความยาวต่างๆ เป็น 1 ส่วน
ท่อนกลาง และ ล่าง มีความยาวต่างๆ เป็น m เท่าของท่อนบน

จะได้สมการปริมาตร คือ
$\frac{(2m + 1)^3 - (m + 1)^3}{(m + 1)^3 - 1} = 3$
ได้ $m = \frac{\sqrt{6} }{2}$

เอาไปแทนค่าในสมการพื้นที่ คือ
$\frac{(2m + 1)^2 - (m + 1)^2}{(m + 1)^2 - 1} = -\frac{1}{5} + \sqrt{\frac{96}{25}}$

เป็นวิธีที่ฉลาดมากครับ ใช้กรณีทั่วไปของความคล้ายใน 3 และ 2 มิติมาช่วย