ข้อสอบสมาคมฯ ม.ปลาย 2554

[จูกัดเหลียง]

#45 อ้อ เข้าใจเเล้วครับ ขอบคุณมากๆๆ

[Zane-LWF]

ขอบคุณทุกท่านที่แบ่งปันสิ่งเสริมปัญญา

[Buzz-F]

ข้อที่ 20 ไม่ทราบว่ามีวิธีคิดกันอย่างไรครับ

[Real Matrik]

#48 ทำคล้ายกับกระบวนการหาเศษเหลือครับเช่นจัดรูป $\frac{x^2+1}{x+1}$ ให้อยู่ในรูปการหาเศษเหลือ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าดีกรีส่วน) ได้ว่า
$$\frac{x^2+1}{x+1}=\frac{(x^2+2x+1)-(2x+2)+2}{x+1}$$
$$=\frac{(x+1)^2-2(x+1)+2}{x+1}=(x+1)-(2)+\frac{2}{x+1}$$

[doraemon_j]

วิธีถึกครับผม 555

Another Solution for 34.

$$\frac{1}{cos^{2}10^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1+cos20^{\circ}}{2}}+\frac{ 1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})^{2}}$$
$$=\frac{2}{1+cos20^{\circ}}+\frac{1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{4(1-cos^{2}20^{\circ})cos^{2}20^{\circ}}$$
ให้ $a=cos20^\circ$ จะได้ว่า
$$=\frac{2}{1+a}+\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{2(4a^{2})(1-a)+(4a^2)+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8a^3+12a^2+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}$$
เพราะ $cos60^{\circ}=4cos^{3}20^{\circ}-3cos20^{\circ}$
จึงได้ว่า $-8cos^{3}20^{\circ}=-2cos60^{\circ}-6cos20^{\circ}=-1-6cos20^{\circ}$
นั่นคือ $$\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{(-1-6cos20^{\circ})+12cos^{2}20^{\circ}+1}{(sin40^{\circ})(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{2sin40^{\circ}sin20^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-cos60^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-\frac{1}{2}}$$
$$=12$$

[bell18]

#50 เยี่ยมครับ ผมชอบวิธีของคุณ doraemon_j ดูแล้วน่าตื่นเต้นดีจัง ^_^

[nooonuii]

34.

My Solution:

ให้ $z=\cos\left(\dfrac{\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$

จะได้ว่า

$\sin 20^{\circ}=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}$

$\sin 40^{\circ}=\dfrac{z^2-z^{-2}}{2i}$

$\sin 80^{\circ}=\dfrac{z^4-z^{-4}}{2i}$

และ $z^9=-1$

$(z^3+1)(z^6-z^3+1)=0$

$z^6=z^3-1$

$z^7=z^4-z$

$z^8=z^5-z^2$

$z^9=-1$

จึงได้

$\dfrac{1}{\sin^2 20^{\circ}}+\dfrac{1}{\sin^2 40^{\circ}}+\dfrac{1}{\sin^2 80^{\circ}}=\dfrac{-4}{(z-z^{-1})^2}+\dfrac{-4}{(z^2-z^{-2})^2}+\dfrac{-4}{(z^4-z^{-4})^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{14}+3z^{12}+3z^{10}+7z^8+3z^6+3z^4+z^2}{(z^8-1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{14}+3z^{12}+3z^{10}+7z^8+3z^6+3z^4+z^2}{(-z^{-1}-1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{16}+3z^{14}+3z^{12}+7z^{10}+3z^8+3z^6+z^4}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{-(z^4-z)-3z^{5}-3z^{3}-7z+3(z^5-z^2)+3(z^3-1)+z^4}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{-3z^{2}-6z-3}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=12$

[doraemon_j]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bell18

#50 เยี่ยมครับ ผมชอบวิธีของคุณ doraemon_j ดูแล้วน่าตื่นเต้นดีจัง ^_^

ขอบคุณครับ 555

[PP_nine]

ผมอยากเห็นวิธีเต็มของข้อ 35 อ่ะครับ

เพราะตอนทำผมก็มั่วๆไปว่ามันควรจะเป็นเส้นตรง เลยถูก

แต่ทำเข้าจริงๆไปไม่ค่อยถูก

[~ArT_Ty~]

http://www.scribd.com/doc/61610672/H...Cosmin-Pohoata

[PP_nine]

ขอบคุณมากครับๆ

ตอนเจอโจทย์ครั้งแรกตกใจ คิดว่าคงจะใช้ inversion เข้ามาช่วยล่ะมั้ง (ยังไม่เคยเรียนเลย $ $)

[EboGa]

แสดงวิธีทำข้อ 17 ให้หน่อยสิค่ะ หนูทำไม่ถูกอะ T_______T

[Ne[S]zA]

จาก $x^2-x=y^2-y$
$x^2-y^2-(x-y)=0$
$(x-y)(x+y)-(x-y)=0$
$(x-y)(x+y-1)=0$
แต่ $x \not= y$ จึงได้ $y=1-x$ และต้องตัดกรณีที่ $x=1/2$ ออกเพราะจะทำให้ได้ว่า $x=y$
เพราะฉะนั้น $D_r=\mathbb{R} -\{1/2\}$

[EboGa]

ขอบคุณ

[N'Pon Jukku AuHu Jealyai]

ข้อ 13 ทำไงอ่าครับ อ่านแล้วมันงงๆ