ทำไม 0.999... มีค่าเท่ากับ 1!?

[Paragon]

จากที่เราเรียนในชั้นประถม หากเราเจอทศนิยมไม่รู้จบ เช่น 0.236236236... เราสามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ว่า 236/999 ใช่ไหมครับ ฉะนั้น ค่าของ 0.999... เราจะเขียนได้ว่า 9/9 หรือเท่ากับ 1!? แต่ผมจินตนาการดูแล้วว่า ถึงอย่างไรก็ตาม 0.999... จะมีค่าไม่เท่ากับ 1 แน่นอน แล้วตกลงมันมีค่าเท่าไรกันแน่อ่ะครับ

y=9/10+9/100+9/1000...
10y=9+9/10+9/100...
10y-y=9
9y=9
y=1

จากที่มาของสูตรส่วน 9 นะครับ

มีทฤษฏีหนึ่งครับ

สมบัติของจำนวนจริง
จากคุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้า 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นอนันต์ แต่ในความจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานว่า 0.999... กับ 1แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

ฉะนั้นเราสามารถแทน 0.999... ด้วย 1 ได้

อ้างอิงจาก http://th.wikipedia.org/wiki/0.999...

ผมเชื่อ และเข้าใจแล้ว หากเราอ้างถึงทฤษฏีนี้

แต่ถึงอย่างนั้น 0.999... แล้วเรามาบวกด้วย 0.000...1 ก็น่าจะได้ 1 แต่ 0.999 ก็ไม่มีที่สิ้นสุด จะบวกด้วยค่า 0.000...1 ได้อย่างไร แต่ 0.999 มันจะเท่ากับ 1 ได้อย่างไร โอ๊ย มึนครับพี่น้อง !?

มีอีกประเด็นหนึ่ง เพื่อเพิ่มความเข้าใจ (หรือความมึนงง?)

มาดูกันว่า 0.000...1 คืออะไร?
ถ้าดูตามหลักของเรา 0.000...1 ได้มาจาก
1 - 0.999... = 0.000...1
1 - 1 = 0
0.000...1 = 0 !?

ผมคิดว่า มันอาจเป็นปัญหาที่ถกกันไม่เลิก เพราะ
ถ้าเราคิดว่า 0.000...1 = A
และ 0.000...1 x 10 = 0.000...10 = B
แล้ว A ต่างกับ B เท่าไหร่
จำนวน 0 ที่อยู่หน้า 1 ของ B มีค่าเท่ากับ inf - 1 ตัวงั้นหรอ
งั้น inf ตัว > inf-1 ตัว
หรือเรื่องของ inf เป็นเรื่องที่อะไรก็เกิดขึ้นได้
ถ้ามีคนมาถามคุณว่า inf - inf = 0 คุณว่าจริงไหม ?

ถ้าใครมีความคิดเห็นเพิ่มเติม ก็นำเสนอมาได้เลยนะครับ
และผมสงสัยอีกอย่างว่า inf เป็นจำนวนจริงหรือไม่

[Julian]

คือ ถ้าจะพิสูจน์ มันมีหลายวิธีมั้ง

แต่ผมจะใช้กฎการถ่ายทอดพิสูจน์นะครับ

เริ่มจาก 1 นำมาหาร 3 ได้ 0.333... ต่อไปเรื่อยๆๆ

แล้วเราก็มาดู 0.999... กันบ้าง เราก็จับหาร 3 อีก ได้ 0.333... ต่อไปเรื่อย

เราจับมันมาเท่ากันได้ 0.999... = 1

สงสัยถามได้นะครับ

[[SIL]]

งั้นผมขอวิธีหรูๆ
$0.9999... = 0.9+0.09+0.009+0.0009+...$
เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ โดยมี $a_1=\frac{9}{10},r=\frac{1}{10}$
สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์เหลือแค่ $\frac{a_1}{1-r}$
สาเหตุที่ตัวหลังหายเพราะ $1-r^n$ ถ้า n เข้าสู่อนันต์ ค่าของ r จะเข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้ายครับก็เลยเหลือแค่นั้น
จับเงื่อนไขทั้งหมดมาลงในสูตรจะได้ว่า
$0.9999.... = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}$
$0.9999.... = \frac{0.9}{0.9}$
$0.9999.... = 1$
$\therefore 0.9999.... = 1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Paragon

มีอีกประเด็นหนึ่ง เพื่อเพิ่มความเข้าใจ (หรือความมึนงง?)

มาดูกันว่า 0.000...1 คืออะไร?
ถ้าดูตามหลักของเรา 0.000...1 ได้มาจาก
1 - 0.999... = 0.000...1
1 - 1 = 0
0.000...1 = 0 !?

ถ้าเขียนแบบนี้เราถือว่า $0.000\cdots 001$ เป็นทศนิยมรู้จบครับ

เช่น อาจจะมีศูนย์อยู่เก้าล้านตัวแล้วจบด้วยหนึ่ง

ซึ่งแสดงว่า $1 - 0.999... \neq 0.000...1$ ครับ

วิธีพิสูจน์ว่า $0.9999\cdots = 1$ ผมชอบแบบของคุณ [SIL]

เพราะเป็นวิธีที่สะอาดถูกหลักอนามัยคณิตศาสตร์ที่สุด

[Paragon]

เจอกระทู้ที่น่าสนใจครับ http://www.pantip.com/cafe/wahkor/to.../X6803858.html

[[SIL]]

ขอตอบไอ้ที่ถามก่อนนะครับ
เราไม่ได้บวก 0.000000000...001 เข้าไปครับมันไม่ได้มาหาเรา แต่เราไปหามันต่างหาก ลองเขียนเส้นจำนวนดูสิครับ 0.9ใกล้1ละ 0.99ใกล้เข้าไปอีก 0.999 หนักกว่าเดิม 0.9999 โอยเป็นจุดเดียวกันไปเถอะ เห็นหรือเปล่าว่ายิ่งเราเพิ่มเลข 9 ไปเท่าไหร่ เส้นจำนวนที่เราเขียนยิ่งจะใกล้ 1 มากเท่านั้นและเราไม่รู้มันจะจบตรงไหน เราก็เลยให้เป็น 1 ไปเลยไงครับ

ลิมิตของลำดับกระมังครบยกตัวอย่าง(อันนี้แบบที่ไม่ใช่การอธิบายแต่เป็นการยกตัวอย่าง)
$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2{\sqrt2...}}} = ?$
ทำไมเราถึงรู้ว่า $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2{\sqrt2...}}} = 2$ ล่ะครับทั้งๆ ที่เราไม่รู้ว่ามันจะไปลงตัวท่าไหน อนุกรมต่างๆก็เช่นกันครับ(แบบเอาค่าคงที่คูณเข้าแล้วใส่เป็น $S_n$) เราไม่รู้หรอก ว่าจุดจบมันอยู่ตรงไหนหรือไปถึงเท่าไหร่ แต่ทำไมเราถึงหาค่าได้

อีกอันๆเส้นตรงไม่มีความสูงมีแต่ความยาวแต่ทำไมขนาดปากกาถึงต้องมีหัว 0.2 มิล 0.5 มิล อ้าวอย่างงี้แสดงว่าเส้นตรงมีความสูงแล้วสิเวรกรรม TT

ผมอธิบายเรื่องนี้ไม่เป็นเท่าไหร่ต้องรอพี่ noonuii มาอธิบายอีกที
ปล. พี่ noonuii คราวหลังเรียกผมว่าน้องจะดีมากครับ ^^ แหะๆ

[ลูกชิ้น]

จะให้ 0.9999... = k เราต้องรู้ก่อนว่า ไอเจ้า 0.999... มันลู่เข้า

อันนี้มีวิธีพิสูจน์ที่ผมคิดได้ 3 วิธี แต่ข้างบนก็เข้าข่ายหมดแล้วใน 3 วิธีที่ผมเคยคิด

ถ้าเคยเรียน mathematics analysis แล้วจะเข้าใจครับ

อ้างจากทฤษฎีบทที่ว่า
$$ถ้า |a - b|<\epsilon , \forall \epsilon > 0 แล้ว a = b $$
ก็ได้ครับ

สำหรับคุณ [SIL] ที่พูดถึง รากต่อเนื่อง (nested radicals) ตัวนั้นว่ารู้ได้ยังไงว่ามันลู่เข้า 2
วิธีทำนั้นเราต้องรู้ว่ามันลู่เข้า เราถึงจะหามันออกมาได้ครับ

หากยังงง ลองนึกถึงอนุกรมเรขาคณิตที่อ้างข้างต้น มันบวกไปเรื่อย ๆ ก็จริง แต่มันลู่เข้า 1
ถ้าลองนึกถึงความจริง อนุกรมอนันต์จะเกิดขึ้นได้มั๊ย

มีโจทย์อยู่ว่า มีรถไฟสองขบวนแล่นเข้าหากัน โดยแมลงวันตัวหนึ่งบินอยู่ตรงกลาง
ซึ่งแมลงวันบินเร็วกว่ารถไฟแล่น และแมลงวันจะบินจากรถไฟขบวนหนึ่งไปอีกขบวน
พอไปชนอีกขบวนแมลงวันก็บินย้อนกลับไปในทิศทางตรงข้ามก็ไปเจอขบวนแรกอีก
บินวนอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จนรถไฟบดขยี้แมลงวัน

ถ้าเราเป็นแมลงวันเราก็จะมีมุมมองว่าเราบินเท่าไหร่ก็ไม่หยุดเสียที เพราะไม่ว่ารถไฟใกล้กันมากเท่าไหร่
แมลงวันก็ยังคงบินอยู่ มันก็จะเป็นอนุกรมอนันต์ หรือไอ 0.999...

แต่ถ้าเราเป็นรถไฟเราก็ไม่ได้สนใจแมลงวันเลย มีแต่จะเร่งให้ชนกัน
มันก็จะกลายเป็นค่าที่ลู่เข้า หรือ ไอ 1

ผมชอบ analysis ครับ ชอบอะไรที่มันเล็ก ๆ เรื่อย ๆ

$$x^{e-2} = \sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{...} } } } $$

[LightLucifer]

สำหรับผมแล้วผมไม่ค่อยเชื่อหรอกเคิ้บบบบบบ


แต่ว่าก้อไม่รุ้จะพิสูจน์อย่างไรดี เพราะ ผมคิดว่า มันมีอะไรที่มันเป็นจุด เล็กๆๆๆ ที่ระยะอะนั้นต์ ยังขาดอยู่หน่ะครับ แต่ว่าผมก้อไม่มีหนทางจะพิสูจน์ แต่อย่างว่าถ้าผมทำได้ผมคงได้ออกข่าวไปนานแล้วหล่ะเนอะ
55555555555555++++++++++++++++

[นู๋ปวดหมอง]

อ่า มีคนตอบไปซะเยอะแล้ว

[Aermig]

อันนี้ผมลองคิดเล่นๆนะครับ คือเราจะรู้ได้อย่างไรว่า $0.999\dots $ เป็นจำนวนจริงน่ะครับ

[jewgood]

มันอาจไม่เป็นจำนวนจริงก็ได้คับ มันเลย = 1 คับ

[Siren-Of-Step]

มันเป็นจำนวนตรรกยะครับ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

โอ้ว ก็ยังไปขุดมาน้อ

[ความฝัน]

สุดยอดๆ แค่ปัญหาที่เล็กน้อย

ก็สร้างความรู้ใหม่ให้เราตลอด

[ครูนะ]

ผมชอบพิสูจน์แบบคุณลูกชิ้นที่ต้องใช้ คณิตวิเคราะห์

สวยงามมากครับ