Warm Up for POSN Camp#2

[Thgx0312555]

งั้นลองยกตัวอย่างคำตอบมาหน่อยครับ

ป.ล ข้อสอง Hint ให้หน่อยสิครับ

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

งั้นลองยกตัวอย่างคำตอบมาหน่อยครับ

ป.ล ข้อสอง Hint ให้หน่อยสิครับ

$(2,4,8),(3,5,15)$

IMO 1992/1

[Thgx0312555]

ขอบคุณครับ ส่วน $(2,4,8)$ ไม่ได้เพราะโจทย์ให้ $a>2$

[A$$]

สอวน.ค่าย 2 เข้าวันไหนหรอคับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

งั้นลองยกตัวอย่างคำตอบมาหน่อยครับ

ป.ล ข้อสอง Hint ให้หน่อยสิครับ

ต้องทำให้ได้ถึงตรงนี้ครับ $\dfrac{R_1}{r_1}=\dfrac{R_2}{r_2}$ <<< เจ๋งดีครับ ผิดมั้งครับ แหะ ๆๆ

#30 พิจารณาสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ + คอร์ดเท่ามุมเท่ากันครับ

[Rosalynn]

2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด

$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$

$r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C

จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ต้องทำให้ได้ถึงตรงนี้ครับ $\dfrac{R_1}{r_1}=\dfrac{R_2}{r_2}$ <<< เจ๋งดีครับ

#30 พิจารณาสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ + คอร์ดเท่ามุมเท่ากันครับ

แหม อันที่จริงมันก็ไม่ได้เท่าสักทีเดียวนะคะ
แต่อย่างไรก็ตาม ข้อมูลในโจทย์ที่ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการหาคำตอบมีดังนี้ค่ะ
1. อัตราส่วน 1:2:3:...:33 นั่นคือ $A_1,A_2,A_3,...A_{33}$ จะอยู่ตรงไหนก็ได้ตามอัธยาศัย
2. จำนวนวงกลม (ในโจทย์รู้สึกจะมี 33 วง) นั่นคือ จะมีถึง $A_{9999}$ คำตอบก็ยังเท่าเดิมค่ะ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

เรขาคณิต
สามเหลี่ยมหน้าจั่วABCมีAB=AC และมุมBAC=33.4องศา สมมติจุดX Y Z เป็นจุดบนAB,BC,CAที่BX=YC. BY=CZ
และวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมBXY CYZ ตัดกันที่P. จงหามุมBPC

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Rosalynn

2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด

$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$

$r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C

จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$



แหม อันที่จริงมันก็ไม่ได้เท่าสักทีเดียวนะคะ
แต่อย่างไรก็ตาม ข้อมูลในโจทย์ที่ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการหาคำตอบมีดังนี้ค่ะ
1. อัตราส่วน 1:2:3:...:33 นั่นคือ $A_1,A_2,A_3,...A_{33}$ จะอยู่ตรงไหนก็ได้ตามอัธยาศัย
2. จำนวนวงกลม (ในโจทย์รู้สึกจะมี 33 วง) นั่นคือ จะมีถึง $A_{9999}$ คำตอบก็ยังเท่าเดิมค่ะ

ใช่ครับบ งั้นผมคงพิสูจน์ผิดแล้วล่ะขอโทษด้วยนะครับทุกท่าน

[Amankris]

จงหาจำนวนนับ $1<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ เป็นจำนวนเต็ม

เป็น IMO 1992 ข้อ 1 (แปลว่าอยู่ในระดับง่าย และ สามารถหาเฉลยใน internet ได้)

ลองมาดูทำวิธีผมบ้าง

Solution

ให้ $f(a,b,c)=\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$
จัดรูปใหม่ได้เป็น $f(a,b,c)=\dfrac{1}{4}\left[1+(1+\dfrac{2}{a-1})(1+\dfrac{2}{b-1})+(1+\dfrac{2}{b-1})(1+\dfrac{2}{c-1})+(1+\dfrac{2}{c-1})(1+\dfrac{2}{a-1})\right]$


จะได้ว่า $f(a,b,c)>\dfrac{1}{4}(1+1+1+1)=1$ และ $f(a,b,c)<f(2,3,4)<4$
นั่นคือ $2\le f(a,b,c)\le3$


กรณี $f(a,b,c)=3$
จาก $f(3,b,c)<f(3,4,5)<3$ ดังนั้น $a=2$
จัดรูป $f(2,b,c)=3$ ได้เป็น $(b-3)(c-3)=5$ นั่นคือ $(a,b,c)=(2,4,8)$


กรณี $f(a,b,c)=2$
จาก $f(2,b,c)>\dfrac{1}{4}(1+3+1+3)=2$ และ $f(4,b,c)<f(4,5,6)<2$ ดังนั้น $2<a<4$
นั่นคือ $a=3$ จัดรูป $f(3,b,c)=2$ ได้เป็น $(b-4)(c-4)=11$ ดังนั้น $(a,b,c)=(3,5,15)$

[prapaeneeth]

โห โหดอะ มารอเฉลย

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

สามเหลี่ยมABC Dอยู่บนBC ทำให้ADตั้งฉากBC. จุดEเป็นจุดกึ่งกลางAC Fอยู่บนABทำให้ACF=BCF. ถ้าACB=45องศา AD BE. CFตัดกันที่จุดเดียว จงหาBAC

HINT

$FD\left.\,\right\Vert AC$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Rosalynn

2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด

$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$

$r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C

จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$



แหม อันที่จริงมันก็ไม่ได้เท่าสักทีเดียวนะคะ
แต่อย่างไรก็ตาม ข้อมูลในโจทย์ที่ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการหาคำตอบมีดังนี้ค่ะ
1. อัตราส่วน 1:2:3:...:33 นั่นคือ $A_1,A_2,A_3,...A_{33}$ จะอยู่ตรงไหนก็ได้ตามอัธยาศัย
2. จำนวนวงกลม (ในโจทย์รู้สึกจะมี 33 วง) นั่นคือ จะมีถึง $A_{9999}$ คำตอบก็ยังเท่าเดิมค่ะ

ผมได้ละครับ ตอบ $\dfrac{R}{r}$ สินะครับ

hint

$\dfrac{r_1}{R_1} \cdot \dfrac{r_2}{R_2} = \dfrac{ r_{\Delta ACA_2}}{ R_{\Delta ACA_2}}$

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ทำไมมันขนานครับ

ใช่ครับ
อยากรู้เหมือนกัน

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อต่อไป
สี่เหลี่ยมนูนABCD concyclic. ให้MและNเป็นจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุมACและBD กำหนดABตัดCDที่E ADตัดBCที่F. AB=1 BC=2 CD=3 DA=4
จงหาMN/EF (TUGMOs)

ขอ Hint หน่อยครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อต่อไป
สี่เหลี่ยมนูนABCD concyclic. ให้MและNเป็นจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุมACและBD กำหนดABตัดCDที่E ADตัดBCที่F. AB=1 BC=2 CD=3 DA=4
จงหาMN/EF (TUGMOs)

HINT

ใช้ midpoint $CD$ ไล่มุม และ สามเหลี่ยมคล้าย

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

เป็นความรู้ค่าย 2 นะครับ

จงหาสามหลักสุดท้ายของ $2013^{2013^{2013}}$