Warm Up for POSN Camp#2

[Beatmania]

#110
ลองดู zsigmondy Theorem ครับ

Hint แต่ละข้อนะครับ

1.

1. ตาม #109 ครับ (ข้อนี้ IMO 2006/1 ครับ)

2.แก้โจทย์เป็นระยะทางดังกล่าวเดคาเมตรครับ

4.

4.เส้นผมบังภูเขาครับ แต่ละข้าง $f$ ซ้อนกันกี่ทีครับ

5.

5.ให้ $a_i=(x-x_i)$ โดยที่ $x_i$ เป็นรากครับ แล้วก็ใช้สมบัติการดิฟนิดหน่อย (?)

6.

6.คิดว่ามันเวอร์รึเปล่าครับ (อสมการในรูปนี้เรียกว่า Shapiro's Inequality ครับ)

[~ArT_Ty~]

เรขาข้อ 1 ใช้อันนี้ก็ได้ครับคือแสดงว่า $AI$ ผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ $BPIC$

และเราจะได้ว่า จุด $P$ ใดๆบนวงกลม ความยาว $AP$ จะสุ้นที่สุดเมื่อ $P,I$ เป็นจุดเดียวกัน

ป.ล. คำใบ้ของ ความรู้ยังอ่อนด้อย เป็นคำใบ้ที่สวยงามมากครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ผมก็ยังทำโจทย์ของคุณ Beatmania ได้ไม่หมดนะครับ อยากลงโจทย์ (ทำไม่ได้ 55)

1. ถ้า n เป็นจำนวนคี่บวกจงแสดงว่า ตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของ $2^n-1$ อยู่ในรูป $8k \pm 1$

2. พิสูจน์ว่ามี n เป็นจำนวนอนันต์ที่ $n^2+1$ มี prime divior มากกว่า $2n+\sqrt{2n}$

[Beatmania]

2.

Friendlander Iwaniec Theorem
ได้กล่าวไว้ว่า...
มี Prime ในรูป $a^2+b^4$ เป็นจำนวนอนันต์ ครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

3.มีจำนวนนับ $n$ หรือไม่ที่

$1.)$ $n|2^n+1$

$2.)$ $n$ มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ทั้งหมด 25 ตัวพอดี

hint

proof that there exist $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$

solution

โดยอุปนัยจะพิสูจน์ข้อความดังกล่าว
ขั้นฐานเห็นได้ชัดว่าจริง
ขั้นอุปนัย สมมติว่ามี $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$

พิจารณา $\gcd(2^{3^k}+1,2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1)=3$ , $9 \ | \ 2^{3^k}+1$ และ $2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1 > 3$
จะมี $p \not\in \left\{ 3,p_1,p_2,...,p_{k-1} \right\}$ such $p \ | \ 2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1$

$\therefore 3p_1p_2 \cdots p_{k-1}p \ | \ 2^{3^{k+1}}+1$ which complete the inductive step

เลือก $n = 3^kp_1p_2\cdots p_{24}$ ครบตามที่กำหนดครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

คอมบิซักข้อครับ
จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเลข$9$ตัวจาก{$1,2,3,...,9$}โดยที่จำนวนติดกันเพียง$2$คู่เท่านั้น
ตัวอย่าง $12598$.... หรือ$123$....เท่านั้นครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

มาเพิ่มโจทย์ครับ
1.จำนวนนับ$n$โดย$2n+1$และ$3n+1$เป็น$perfect square$ พิสูจน์ว่า$40|n$
2.$AB=12,BC=13,CA=15$,$M$อยู่บน$AC$โดนวงกลมแนบในสามเหลี่ยมABM,BCMมีรัศมีเท่ากัน หาค่า$AM/CM$
3.หาจำนวนเฉพาะ$p,q$สอดคล้องกับ$p^3-q^5=(p+q)^2$
4.พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ$n$ต้องมีจำนวนนับ$m$ซึ่งหลักสุดท้ายของ$m^3$เป็นเลข$8$ทั้งหมด

[polsk133]

#118 ข้อ4 n,m เกี่ยวอะไรกันหรอครับ

ข้อ 3 ไม่ใช่q^3 หรอ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

มาเติมโจทย์อสมการครับ
และGeo
ลากจุด $A$ มาสัมผัสวงกลมๆหนึ่ง ที่จุด $B,C$ จากนั้นต่อ BC (ไปทางจุด B,C ก็ได้) ไปถึงจุด $Q$ แล้วลากเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น ที่จุด X,Y จงแสดงว่า $A,X,Y conllinear$

[Slow_Math]

weight am-gm

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

weight am-gm

Alternative Soln

$$\sum_{cyc} \frac{ab}{a^5+b^5+ab} = \sum_{cyc} \frac{1}{\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{a} +1} \le \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+b^2a+1}= \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\sum_{cyc} \frac{c}{a+b+c}=1$$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

weight am-gm

ผมก็เสนออีกวิธี แต่มันคล้ายๆ กับ คุณ light lucifer
จาก $Muirhead [(5,0)] \geqslant [(4,1)]$
ดังนั้น $a^5+b^5 \geqslant a^4b+b^4a$
$LHS = \therefore \sum_{cyc} \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \leqslant \sum_{cyc} \dfrac{ab}{a^4b+b^4a+ab} = \sum_{cyc} \dfrac{ab}{ab(a^3+b^3+1)} = \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}$
จาก $Muirhead [(3,0)] \geqslant [(2,1)]$
$\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \leqslant \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^2b+ab^2+abc} = \sum_{cyc} \dfrac{abc}{ab(a+b+c)} = \sum_{cyc} \dfrac{c}{a+b+c} = 1$