ข้อสอบ สอวน.ค่ายมีนา

[Brownian]

เรขาคณิต ข้อ 5 ตามแนวคิดผมครับ ( ออกเถือกๆหน่อย)
G5: ให้ $\Delta$ = พท. สามเหลี่ยม ABC และ $s=\frac{a+b+c}{2}$
เพราะว่า $r=\frac{2\Delta}{a+b+c}$ และ $R=\frac{abc}{4\Delta}$ ดังนั้น เราจะได้ว่า $\frac{\Delta^2}{sabc}=\frac{r}{4R}$
ต่อไปจะพิสูจน์ ความจริงที่ว่า $sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ (ไม่รู้ว่าสามารถนำไปอ้างได้เลยรึเปล่านะครับ แต่พิสูจน์ไว้ก่อน)
เพราะว่า $bc sin^2\frac{A}{2}=bc(\frac{1-cosA}{2})=\frac{1}{2}bc-\frac{1}{2}bccosA=\frac{1}{2}bc-\frac{1}{2}bc(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})
=\frac{1}{2}bc-\frac{1}{4}(b^2+c^2-a^2)=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4}=\frac{a^2-(b-c)^2}{4}
=(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})=(s-b)(s-c)$
ในทำนองคล้ายๆ กัน จะได้ว่า $sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{2}}$ และ $sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{2}}$
ดังนั้น $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}=\frac{\Delta^2}{sabc}=\frac{r}{4R}$ จึงได้ $r=4R sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$\therefore r(sinA+sinB+sinC)=4R sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}(sinA+sinB+sinC)$
=$4R (sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2})(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2})$ (จากกฎของสามเหลี่ยม)
=$2R sinA sinB sinC$ ตามต้องการ#

[mathstudent2]

จาก บรรทัดที่3ของ คุณbrownian
ผมใช้ law of sine ก็จบแล้วครับ

a/sin A + b/sin B +c/sin C = 2R

[owlpenguin]

กฎของไซน์มัน $\frac{a}{sinA} \ =\frac{b}{sinB} \ =\frac{c}{sinC} =2R$ ไม่ใช่เหรอครับ

Edit: พอดีเข้าค่ายเมษาก็เลยมีโจทย์แจ่มๆมาฝากครับ
1.ถ้า $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ เป็นฟังก็ชันเพิ่มและ $f(f(n))=3n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$ จงหา $f(1997)$
2.จงหา $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $f(f(x))=x^{2}-2$ ทุกจำนวนจริง $x$
3.จงหาฟังก์ชันแยกคูณ(เลขคณิต) $f,g$ ซึ่ง
i) $f\not=\ g$
ii) $f(p)=g(p)$ ทุกจำนวนเฉพาะ $p$
ลองทำดูครับ สนุกดี