About Discriminant

ตอนนี้ผมกำลังสนใจเกี่ยวกับเรื่อง Discriminant ของพหุนามใด ๆ อยู่อะครับ....

1. สมการกำสอง Discriminant คือ b^{2}-4ac
สมการกำลังอื่น ๆ ก็มี discriminant ของตัวเองใช่ป่าวครับ?

2. จากวิกิ.. : http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

In mathematics, a discriminant is an expression that discriminates qualities of algebraic structures. The concept applies to polynomials, conic sections, quadratic forms, and algebraic number fields.

For a polynomial P(x) = a0 + a1x + a2x² + ... , the discriminant is a quantity D = D(a0,a1,a2,...) that equals 0 precisely for those P(x) that have at least one multiple root.

For a quadratic equation, the discriminant is the square-rooted section of the Quadratic Formula because you can use it to discriminate between whether the given quadratic has two solutions, one solution, or no solutions.

เขาให้นิยามของ discriminant ว่ายังไงอะครับ? (ความสามารถในการแปลให้เข้าใจไม่ถึงพอ)

ถามแค่นี้ก่อนนะครับ...แล้วเดี๋ยวถ้าลองอ่านเพิ่มเติมถ้ายังไงก็จะมาถามอีกนะครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

นิยามทั่วไปของ discriminant นั้นยุ่งยากมากครับ ต้องใช้แนวคิดของพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีสนาม (Linear Algebra and Field Theory) แต่ถ้าเป็นพหุนามพอมีสูตรง่ายๆให้ดูครับ

ถ้า $f(x) = (x-a_1)\cdots (x-a_n)$ เรานิยาม Discriminant of $f$, $\displaystyle{ \Delta(f) = \prod_{i<j} (a_i -a_j)^2 }$

ถ้าอยากรู้ว่าหน้าตาในรูปสัมประสิทธิ์ของ $f$ เป็นยังไงคงต้องใช้ Vieta's Formula จัดรูปเอาครับ
ตัวอย่างสำหรับพหุนามกำลังสองและสามคือ

$f(x) = x^2+ax+b, \Delta (f) = a^2-4ab$
$f(x)=x^3+ax^2+bx+c, \Delta (f) = -4a^3c+a^2b^2+18abc-4b^3-27c^2$

แค่พหุนามกำลังสามสูตรยังมั่วขนาดนี้คงไม่บอกว่าถ้าพหุนามกำลังสูงขึ้นสูตรจะมั่วขนาดไหนครับ