[อนุกรม] ลองทำกันดู

[iNont]

[~ArT_Ty~]

ใช้สูตรของเลอจองก์ได้ครับ

[iNont]

มีอีกข้อจ้าา

$$หาค่าของ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^3}{2}[\sum_{x = 1}^{n}(\sum_{y = 1}^{n}(\frac{(x+1)(x+y-1)!(n+1)!}{(n+x)!(y-1)!}))]^{-1}$$

[Suwiwat B]

ผมลองดูที่ summation ตัวในก่อนนะครับ
ดึงตัวที่ไม่มี $y$ ออกมาก่อนเลย จะได้ $\displaystyle A = \frac{(x+1)(n+1)!}{(n+x)!}\sum_{y = 1}^{n}\frac{(x+y-1)!}{(y-1)!}$
ถ้ามองให้ $a=y-1$ อัดลงไปใน summation จะได้ $\displaystyle \sum_{a = 0}^{n-1}\frac{(x+a)!}{(a)!}$
$\displaystyle= (x!)\sum_{a = 0}^{n-1}\frac{(x+a)!}{(a!)(x!)}$
$\displaystyle= (x!)\sum_{a = 0}^{n-1}\binom{x+a}{x}$
$\displaystyle= (x!)(\binom{x+n}{x+1})$
จะได้ $A= \frac{(x+1)(n+1)!(x!)}{(n+x)!}\times \frac{(x+n)!}{(x+1)!(n-1)!}$
$= n(n+1)$
เอาไปเข้า summation ตัวต่อไป ซึ่งจะได้ว่าค่าของมันเป็น $ n\times n(n+1) $ เนื่องจากไม่มี $x$ เป็นตัววิ่งอีกเเล้ว $n(n+1)$ เปรียบเหมือนค่าคงที่
จะได้ว่า $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3}{2} \times \frac{1}{n(n)(n+1)}$
$= \frac{3}{2}$