โอลิมปิกรอบ 1 ปี 2549

[gon]

ขอบคุณน้อง Thee อีกครั้งครับ. สำหรับตัวข้อสอบทั้งหมด

[[Cb : TkZ]]

ข้อ 20
ได้


{$(1+\sqrt[]{ 5 })/2$}

[Mastermander]

20. by GFK

http://www.vcharkarn.com/include/vca...=105&Pid=55003

[[Cb : TkZ]]

ข้อ 20 (อีกวิธี)

ลองให้พจน์ด้านซ้ายทั้งก้อน =A

จะให้ สมการ
A=Ax-A/x

เอา A หารตลอด เพราะ x>0
แก้สมการ

1=x-1/x

จะได้ x ค่าเดียวเป็นคำตอบครับ

[passer-by]

ข้อ 25
ถ้า p+q = 1 จะได้ f(p) +f(q)=1 จากนั้นก็จับคู่หัว-ท้ายแล้วบวกกัน

ข้อ 13 น่าจะมีมากกว่า 1 คำตอบนะครับ และ $ a_i $ ต่างกันหมดไม่ได้ซะด้วย

ข้อ 15

ให้ AD= x ดังนั้น AF= $\sqrt{x^2+6x} $ และทำให้ BF = $ \frac{x^2+6x}{3} $

เพราะ $ AB^2= BD^2-DA^2 = BC^2-AC^2 $ ดังนั้น $\frac{(x+3)^4}{9}-(x+3)^2=9-x^2 $

แก้สมการจะได้ $ (x+3)^3= 54 \Rightarrow AC^3=54 $

สรุปว่า ข้อนี้ตอบ $ 3\sqrt[3]{2} $

[prachya]

ข้อ 15
DAFC ~ DABC --> $ \frac{CF}{AC} = \frac{AC}{BC}$ -> $ \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{2(3cos a)} $ ...(1)

จากรูป DACF -> (x+3) cos a = 3 --> $ cos a = \frac{3}{x+3} $ แทนใน (1)
จะได้ $ \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{6(\frac{3}{x+3})} $ -> 27*2 = (x+3)³ -> x+3 = 3 $\sqrt[3]{2}$ = AC

[nongtum]

ข้อ 15 ตอนที่สอง (เพิ่งรู้ว่าข้อนี้ทำซ้ำกันหลังจากโพสต์ครับ แต่ก็ดีครับ หลายแนวคิด)
ให้ $AD=x$ จะได้ $AB=\sqrt{9-x^2},\ BC=\sqrt{6x+18},\ BF=\sqrt{6x+18}-3,$
$AF=\sqrt{x^2+6x}$ ดังนั้นในสามเหลี่ยม ABF จะได้
$9-x^2-x^2-6x=(\sqrt{6x+18}-3)^2$ แก้สมการจะได้ $x+3=\sqrt[3]{54}=AC$

ข้อ 24 ครับ

อ้อ ใครแปะคำตอบไว้อย่างเดียวกรุณาช่วยมาแปะวิธีทำด้วยครับ

[passer-by]

ข้อ 23

ให้ มุม ABC แทนด้วย q

เพราะ
$ (OB)(DC) = (OM)(BC) = (\frac{1}{3}DB)(2MB) $

จัดรูปใหม่เป็น $ \frac{DC}{DB}=\frac{2}{3}(\frac{MB}{OB}) \Rightarrow \tan\theta=\frac{2}{3}\cos\theta $

แก้สมการแล้วก็จะได้ q เท่ากับ 30องศา ครับ

[nongtum]

แวะมาบอกเฉยๆครับว่าด้วยความร่วมมือ(และแปะข้ามไปข้ามมา)ของจอมยุทธ์ประจำทั้งสองเวบ ตอนนี้เฉลยแนวคิดครบทุกข้อแล้วครับ (จะไม่โพสต์ข้อที่เหลือที่นี่แล้วนะครับ) หากยังสงสัยข้อไหน ถามได้ที่กระทู้นั้นโดยตรงครับ

[thee]

ข้อ 3 ตอนที่ 1
ขอถามหน่อยครับ ข้อ 3 ผมไม่ค่อยเข้าใจเอกลักษณ์ของมันอะครับว่ามาได้ไง ที่คุณ nongtum เฉลยไว้อะครับ ผมเลยทำอีกวิธี ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

$$ (x + {1 \over z})(y + {1 \over x}) = 25 \cdot 49 จะได้ xy + {y \over z} + 1 + {1 \over {xz}} = 1225 $$
$$ จาก y = 49 - {1 \over x} $$

$$
{{xyz} \over z} + {1 \over z}(50 - {1 \over x}) + {1 \over {xz}} = 1224
$$
$$
{1 \over z} + {{49} \over z} - {1 \over {xz}} + {1 \over {xz}} = 1224
$$
$$
{1 \over z} = {{1224} \over {50}}
$$
$$
x = {{26} \over {50}},y = {{1224} \over {26}}
$$
$$
z + {1 \over y} = {{50} \over {1224}} + {{26} \over {1224}} = {{76} \over {1224}} = {{19} \over {306}}
$$
$$
m + n = 19 + 306 = 325
$$

ทำไมผมพิมพ์ latex มันถึงขึ้นแต่ตรงกลางหละครับ แก้ยังไง

[nongtum]

ดูวิธีทำในหน้าแรกประกอบด้วยนะครับ

เราเริ่มจากเขียน x=1/yz, y=1/zx, z=1/xy แล้วดึงตัวประกอบร่วมออกจากแต่ละวงเล็บ ตัวประกอบร่วมที่ดึงออกมาคูณกันได้ 1 จากนั้นก็รวมเทอมในแต่ละวงเล็บอย่างที่ทำให้ดูแหละครับ

ส่วนพิมพ์แล้วทำไมถึงออกมาตรงกลางตลอด ลองพิมพ์ $ (in line TeX)ประกบเพียงคู่เดียวแทนที่ใช้ด้านละสองคู่ (Display TeX) อย่างที่พิมพ์มาสิครับ

[thee]

ขอบคุณมากครับ ผมเข้าใจแล้วครัย

[jabza]

ขอรบกวนพี่passer-by ช่วยอธิบายให้ละเอียดหน่อยครับ

ผมสงสัยข้อ 25
ถ้า p+q = 1 จะได้ f(p) +f(q)=1 จากนั้นก็จับคู่หัว-ท้ายแล้วบวกกัน

วิธีทำของผม f(x) + f(1-x) = 1

3^2x / (3^2x +3) + 1/2 = 1

f( k/2549) = 1/2(ถูกไหมครับ สงสัยมากๆๆ ไม่รู้ว่ามันมาได้อย่างไร ช่วยอธิบายหน่อยครับ แล้วช่วยอธิบายที่บอกว่าจับคู่หัว-ท้ายแล้วบวกกัน)


ปล.ผมยังโง่อยู่ อยู่แค่ป.6ครับ ช่วยอธิบายสักนิดครับ

[passer-by]

ตอบคำถามของคุณ jabza นะครับ

$ \begin{array}{lr} f(x) + f(1-x) \\ = \frac{9^x}{9^x+3}+ \frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3} \\ =\frac{9^x}{9^x+3}+\frac{\frac{9}{9^x}}{\frac{9}{9^x}+3} \\ = \frac{9^x}{9^x+3}+\frac{9}{9+3\cdot 9^x} \\ = \frac{3\cdot 9^x}{3(9^x+3)}+\frac{9}{9+3\cdot 9^x} \\ =\frac{3\cdot 9^x+9}{3\cdot 9^x+9}=1 \end{array} $

ส่วนจับคู่ หัว-ท้าย หมายความว่า

$ f(\frac{1}{2549})+ f(\frac{2548}{2549})=1 $
$ f(\frac{2}{2549})+ f(\frac{2547}{2549})=1 $
$ f(\frac{3}{2549})+ f(\frac{2546}{2549})=1 $

ไปจนถึง
$ f(\frac{1274}{2549})+ f(\frac{1275}{2549})=1 $

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 1 ตอนที่ 1
Credit : Prach
$$(b-c)^2\geq 0$$
$$b^2+c^2\geq 2bc$$
จาก $b^2+c^2+bc-6a+6=0$ จะได้
$$b^2+c^2=-bc+6a-6\geq 2bc$$
นั่นคือ $$2a-2\geq bc\qquad ...(1)$$
จาก $a^2-bc-8a+7=0$ จะได้ $bc=a^2-8a+7$
นำไปแทนใน $(1)$ ได้ $$2a-2\geq a^2-8a+7$$
$$a^2-10a+9\leq 0$$
$$(a-9)(a-1)\leq 0$$
$$a \in [1,9]\qquad ค.$$