การรวมกันของ Arctan ที่น่าสงสัย

[M@gpie]

โดยทั่วไปพบว่า
\[ \arctan x + \arctan y = \arctan (\frac{x+y}{1-xy}) \]
ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $-\frac{\pi}{2} < \arctan x +\arctan y < \frac{\pi}{2} $
อันนี้ไม่มีข้อกังขาแต่อย่างใดครับแต่ผมพบว่าสูตรที่เคยแอบจดไว้เป็นดังนี้ครับ
\[ \begin{array}{lclcl}
\arctan x + \arctan y &=& \arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy<1 \\
\arctan x + \arctan y &=& \pi +\arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy>1,x>0,y>0 \\
\arctan x + \arctan y &=& -\pi + \arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy>1,x<0,y<0 \\
\end{array}\]

ครั้นตอนมัธยมผมก็จำเอาครับ ตอนนี้เกิดอยากรู้ขึ้นมาว่า เงื่อนไข $x,y$ ต่างๆนี่มาได้ยังไงครับ ??
ผมกำลังคิดว่าไม่น่าจะเกิดจากการลองแยกกรณีดูไปเรื่อยๆ รึเปล่าครับ ?
ถ้าผู้ใดทราบวิธีพิสูจน์รบกวนบอกผมด้วยนะครับ แหะๆ

[Mathophile]

เงื่อนไขน่าจะมาจากนิยามของ $arc$ น่ะครับที่จำกัดโดเมนของฟังก์ชัน (หรือเรนจ์ของอินเวอร์ส) ให้อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ น่ะครับ

จาก $tan(A+B)=\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}$ >>> $A+B=arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)$

$arctan$ จะหาได้ก็ต่อเมื่อมุม $A+B$ อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ซึ่งถ้า $A+B$ อยู่ในช่วงนั้นแล้วก็ใส่ $arc$ ตามสบาย แต่ถ้ายังไม่อยู่ในช่วงเราก็จะทำมันให้อยู่ในช่วงน่ะครับ (พูดง่ายดีจัง)

พิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย จะพบว่าส่วนที่ยังไม่อยู่ในโดเมนคือ กรณีที่ $\frac{\pi}{2}<A+B<\frac{3\pi}{2}$ <= ตรงนี้เองที่เป็นที่มาของเงื่อนไข
เราบวกทั้งอสมการด้วย $-\pi$ จะได้ว่า $\frac{-\pi}{2}<A+(B-\pi)<\frac{\pi}{2}$ ซึ่งอยู่ในโดเมนตามที่ต้องการ
ฉะนั้น \[\begin{array}{rcl}
tan(A+(B-\pi))&=&\displaystyle{\frac{tanA+tan(B-\pi)}{1-tanAtan(B-\pi)}}\\
&=&\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}
\end{array}\]
(หมายเหตุ $tan(B-\pi)=tanB$ ครับ)
ซึ่งทีนี้ก็หา $arctan$ ได้สบายแล้วเพราะว่า $\frac{-\pi}{2}<A+(B-\pi)<\frac{\pi}{2}$
\[\begin{array}{rcl}
A+(B-\pi)&=&arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)\\
A+B&=&\pi+arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)\\
\end{array}\]
เมื่อเราให้ $tanA=x,tanB=y$ ก็จะได้มาแล้วสมการนึง (ตั้งสมการนึงแน่ะ...) ที่คุณ M@gpie ให้มา...
.
.
.
ไม่ครับ มันยังมีอีกคับ เพราะเราไม่รู้ว่า $A$ กับ $B$ อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ หรือเปล่า
ก็เลยต้องหาอีกว่ากรณีไหนบ้างที่ $A$ กับ $B$ อยู่ในช่วงหรือไม่อยู่ในช่วง
ซึ่งผมจะมาต่อเรื่องนี้ทีหลังครับ (หรือคนอื่นจะมาต่อก็ได้ เพราะผมเริ่มเหนื่อยแล้ว... )

กรณี $xy<1$ ดูเว็บนี้ครับ http://www.gomath.com/Questions/ques...?question=4931
ดูที่ Question 4934

[M@gpie]

นั่นแหละครับ ผมก็ลองเช็คแบบที่คุณ Mathophile ทำแหละครับ แต่ประเด็นคือเงื่อนไขต่างๆเช่น $xy<1$ เขารู้ได้อย่างไร ?

[TOP]

ดูจากเงื่อนไขที่เปรียบเทียบ $xy$ กับ $1$ คาดว่า น่าจะเกี่ยวข้องกับค่า $1 - xy$ ที่เป็นตัวส่วนของ
\[\arctan\left(\frac{x+y}{\bbox[PaleGreen,2pt]{\color{Sienna}{1}-\color{red}{xy}}}\right)\]
เงื่อนไข $xy > 1$ ทำให้เครื่องหมายบวกหรือลบของ $\arctan$ ตรงข้ามกับเครื่องหมายบวกหรือลบของตัวเศษ $x + y$

เงื่อนไข $xy < 1$ เครื่องหมายบวกหรือลบของ $\arctan$ ตรงกับเครื่องหมายบวกหรือลบของตัวเศษ $x + y$

จากนั้นจึงไปพิจารณา $x,y$ ในเงื่อนไขต่างๆกันว่า เมื่อแทนลงในสูตรดังกล่าวแล้ว ค่า $\arctan$ ที่ได้เป็นค่าที่ถูกต้องหรือไม่ หากไม่ถูกต้อง ก็แก้ไขตามแต่ละกรณีไป

[Mathophile]

ลองพิจารณาอันนี้ใหม่นะครับ... (ยาวนิดนึงนะครับ )

พิจารณามุม $A,B$ ที่ $A\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ และ $B\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
ดังนั้น จะมี $x,y$ ที่ $A = \arctan x, B = \arctan y$

กรณี 1 $0 \leq A < \frac{\pi}{2}$ และ $-\frac{\pi}{2} < B \leq 0$
จะได้ $\arctan x + \arctan y = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$
(เพราะ $-\frac{\pi}{2} < A+B < \frac{\pi}{2}$ นั่นคือ $-\frac{\pi}{2} < \arctan x + \arctan y < \frac{\pi}{2}$ จึงเปลี่ยนได้สบาย)

กรณี 2 $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$
กรณีนี้เหมือนกับกรณี 1 ครับ สลับกันแค่ตัวแปร (แม้จะตัดกรณีที่เท่ากับศูนย์ออกไป ก็ยังได้อยู่ครับ)

กรณี 3 $0 < A < \frac{\pi}{2}$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$
จะได้ $0 < A+B < \pi$ ซึ่งเราจะไม่พิจารณากรณี $A+B=\frac{\pi}{2}$ (เพราะทำให้หา $\tan(A+B)$ ไม่ได้) จึงแบ่งเป็น 2 กรณีย่อยคือ

กรณี 3.1 $0<A+B<\frac{\pi}{2}$
ทำได้เหมือนกรณีแรกครับ
กรณี 3.2 $\frac{\pi}{2}<A+B<\pi$
บวกอสมการด้วย $-\pi$ จะได้ $-\frac{\pi}{2}<A+(B-\pi)<0$
ทำตามวิธีที่ผมบอกไว้ข้างบนจะได้ว่า $\arctan x + \arctan y =\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})$
คราวนี้เปลี่ยนเป็น $\arctan$ ได้เพราะ $A,B$ อยู่ในช่วง $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ครับ

กรณี 4 $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ และ $-\frac{\pi}{2} < B < 0$
กรณีนี้คิดเหมือนกรณี 3 ครับแต่เปลี่ยนตรงกรณีย่อยที่ 2 จากบวกด้วย $-\pi$ เป็นบวกด้วย $\pi$
เพราะฉะนั้น $\arctan x + \arctan y =-\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})$

ตอนนี้สิ่งที่เราได้ก็คือ
$$\begin{array}{rclcl}
\arctan x + \arctan y&=&\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&-\frac{\pi}{2}<A+B<\frac{\pi}{2}\\
&=&\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&\frac{\pi}{2}<A+B<\pi\\
&=&-\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&-\pi<A+B<-\frac{\pi}{2}
\end{array}$$
มาดูที่บรรทัด 2 ครับ บรรทัด 2 ได้จากกรณี 3.2
กรณี 3.2 กล่าวว่า $0 < A < \frac{\pi}{2}$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$ และ $\frac{\pi}{2}<A+B<\pi$
ฉะนั้น $\tan A > 0, \tan B > 0 , \tan(A+B) < 0$ (นึกภาพวงกลมหนึ่งหน่วยนะครับ)
แต่ $\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
ด้านซ้ายน้อยศูนย์ ส่วนด้านขวา ตัวเศษมากกว่าศูนย์ ฉะนั้นตัวส่วนก็ต้องน้อยกว่าศูนย์
นั่นคือ $\tan A\tan B > 1$
เพราะฉะนั้น เงื่อนไขทั้งหมดที่ได้ในกรณีนี้คือ $\tan A > 0, \tan B > 0 , \tan A\tan B > 1$
จากที่เราให้ $A = \arctan x, B = \arctan y$ ก็จะได้เงื่อนไขในรูปของ $x,y$ ว่า
$$x > 0, y > 0 , xy > 1$$

สำหรับกรณีอื่นก็พิจารณาในทำนองเดียวกันน่ะครับ
และถ้ามุม $\theta$ ใด ๆ ไม่อยู่ในช่วง $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ เราก็จะไม่พิจารณา เพราะเราหา $\arctan$ ไม่ได้ครับ

[Ne[S]zA]

ขอโทษนะครับที่ปลุกขึ้นมา มันนานมากละ แต่สงสัยว่า
$\arctan x - \arctan y=\arctan(\dfrac{x-y}{1+xy})$ หรือเปล่าครับ
ถ้าจริงมีเงื่อนไขอะไรหรือเปล่า