Prove that $\lim_{n\to\infty} nx^n=0$

[kanji]

when $|\,x|<1$ prove that $\lim\limits_{n \to \infty} nx^n=0$
using $(1+h)^n>1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2$ ; $n\ge 3\,,\,h>0$

[nongtum]

Hint: ใช้ $0<|x|<1\ \Rightarrow \exists h>0:\frac{1}{|x|}=1+h$ แล้วกระจายตัวส่วนด้วยสูตรที่ให้

[kanji]

จาก hint ของ พี่ nongtum
ผมคิดแบบนี้ถูกมั้ยครับ
$\begin{array}{ll}
nx^n &\le n|\,x|^n \\
&=\frac{n}{(1+h)^n}\\
&<\frac{n}{1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2}\to 0\\
\end{array}$



ทำนองเดียวกัน $nx^n\ge -n|\,x|^n=-\frac{n}{(1+h)^n}\to 0$

ดังนั้น $nx^n\to 0$

[nongtum]

ใช่แล้วครับ แต่ตอนทำอาจต้องระบุด้วยว่าสำหรับ $x\ne 0$ (nontrivial case)