โจทย์เกี่ยวกับ group

[warut]

ขอทดสอบสมาชิกภาพด้วยการโพสต์โจทย์สักข้อนะครับ

ถ้า G เป็น group ที่มีสมบัติว่า (ab)³ = a³b³ และ (ab)⁵ = a⁵b⁵ สำหรับทุกๆ a, b ฮ G
ให้พิสูจน์ว่า G เป็น Abelian group (คือพิสูจน์ว่า ab = ba นั่นแหละครับ)

คือผมอยากเห็นวิธีทำของคนอื่นๆบ้าง เพราะคิดว่าวิธีของผมยังไม่น่าจะใช่วิธีที่ดีที่สุดน่ะครับ

[gon]

ผมพยายามคิดเหมือนกันครับ.
เพียงแต่ว่าไม่ชำนาญเลยยังคิดไม่ออก
ว่าแต่เราจะพิสูจน์ได้ว่า ถ้า a,b เป็นสมาชิกใน G
ถ้า ab = ba แล้ว (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ ใช่ใหมครับ.
อีกอันนึงก็ คือ (ab)^-1 =b^-1 a^-1 ใช่ใหมครับ.

[TOP]

งั้นมาดูวิธีของผมดีกว่า

(ab)³ = a³b³
(ab)(ab)(ab) = a³b³
(ba)² = a²b²
\ (ab)² = b²a²

ในทำนองเดียวกัน (ab)⁵ = a⁵b⁵
(ab)(ab)(ab)(ab)(ab) = a⁵b⁵
(ba)⁴ = a⁴b⁴
\ (ab)⁴ = b⁴a⁴

(ab)⁴ = [(ab)²]²
b⁴a⁴ = (b²a²)(b²a²)
b²a² = a²b²
(ab)² = (ba)²
b²a² = (ba)(ba)
\ ab = ba

[warut]

วิธีของคุณ TOP เป็นแนวเดียวกับผมเลย...ดีใจจัง

ตอบคุณ gon: ใช่ครับถ้าเป็น Abelian group แล้วเนี่ยจะได้ว่า (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
ส่วน (ab)^-1 = b^-1a^-1 นี่ก็เป็นจริงสำหรับทุก group อย่างที่คุณ gon บอกนั่นแหละครับ

[warut]

ไม่รู้ว่าเนื้อหาเรื่อง group ในระดับม.ปลายนี่ในปัจจุบัน
ครอบคลุมถึงแค่ไหนเหมือนกัน ถ้าผมจำไม่ผิดรู้สึกจะมีคนเคย
พูดใน webboard นี้ว่าเดี๋ยวนี้เค้าตัดเรื่อง group ออกไป
แล้ว จริงเท็จอย่างไรใครทราบช่วยบอกด้วยนะครับ

ยังไงก็ตามผมฝากโจทย์ไว้ให้อีกสักข้อแล้วกัน ซึ่งข้อนี้ผมบอก
ไว้ก่อนว่าผมทำไม่ได้ แล้วก็ไม่มีเฉลยให้ด้วยนะครับ ใครทำ
ได้ช่วยชี้แนะด้วยจะเป็นพระคุณยิ่ง

ถ้า G เป็น group ที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็ม i ที่ทำให้
(ab)ⁱ = aⁱbⁱ
(ab)ⁱ⁺¹ = aⁱ⁺¹bⁱ⁺¹
(ab)ⁱ⁺² = aⁱ⁺²bⁱ⁺²
สำหรับทุกๆ a, b ฮ G
ให้พิสูจน์ว่า G เป็น Abelian group

[TOP]

จาก (ab)^m = a^mb^m จะได้ว่า (ab)^m-1 = b^m-1a^m-1
จาก (ab)^m+1 = a^m+1b^m+1 จะได้ว่า (ab)^m = b^ma^m
จาก (ab)^m+2 = a^m+2b^m+2 จะได้ว่า (ab)^m+1 = b^m+1a^m+1

ดังนั้น (ab)^m = (ba)^m และ (ab)^m+1 = (ba)^m+1
จะได้ว่า (ab)^m(ab) = b^ma^m(ab)
(ab)^m+1 = b^ma^m+1b
b^m+1a^m+1 = b^ma^m+1b
ba^m+1 = a^m+1b
หรือ ab^m+1 = b^m+1a

จะได้ว่า a^m+1bab^m+1 = b^m+1aba^m+1
a^m+1bab^m+1 = ab^m+1a^m+1b
a^m+1bab^m+1 = aa^m+1b^m+1b
a^m+1bab^m+1 = a^m+2b^m+2
ba = ab (ครั้งแรกใช้วิธีนี้ แต่วิธีนี้ผิดครับ )

จาก (ab)^2m+2 = [(ab)^m+1]² = (ab)^m(ab)^m+2
a^m+1b^m+1a^m+1b^m+1 = a^mb^ma^m+2b^m+2
ab^m+1a^m+1 = b^ma^m+2b
b^m+1a^m+2 = b^ma^m+2b
ba^m+2 = a^m+2b
ba^m+2 = aba^m+1
ba = ab

[warut]

ว้าวๆๆ...อัจฉริยะจริงๆเลยนะเนี่ย นับถือๆ แล้วก็ขอบคุณมากครับสำหรับคำตอบ

(ab)^m+1 = a^m+1b^m+1
(ab)(ab)^m = a^m+1b^m+1
(ab)(a^mb^m) = a^m+1b^m+1
ba^m = a^mb

ทำนองเดียวกันจะได้ ba^m+1 = a^m+1b
(ba^m)a = a^m+1b
(a^mb)a = a^m+1b
ba = ab

[warut]

เป็นคำตอบที่สุดยอดจริงๆเลยครับ ขอบคุณมากครับ
เห็นที่นี่มีคนเก่งระดับปรมาจารย์อยู่หลายคนก็เลยอยากขอ
คำชี้แนะอีกสักข้อนะครับ เป็นข้อที่ผมทำไม่ได้เหมือนกัน
ที่ตอนแรกไม่ได้โพสต์เพราะเห็นว่ามี concept เรื่อง
order ของ element ใน group อยู่ด้วยซึ่งมันจะเกิน
ระดับม.ปลายมากไปหน่อย

ให้ G เป็น group และ a, b ฮ G โดยที่ b ไม่
ใช่ identity (นั่นคือ b น 1) และ order ของ a คือ 5
(นั่นคือ a⁵ = 1 แต่ a, a², a³, a⁴ น 1)
และ aba^-1 = b² ให้หา order ของ b
(นั่นคือ หาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ bⁿ = 1)

ข้อนี้ผมทำได้แค่ว่า order ของ b ต้องเป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1 เท่านั้นเองครับ

[TOP]

จาก aba^-1 = b²
\ ab^ma^-1 = b^2m
b^m = a^-1b^2ma
b^m = a^-2b^4ma²
b^m = a^-3b^8ma³
b^m = a^-4b^16ma⁴
b^m = a^-5b^32ma⁵
b^m = b^32m
b^31m = 1
\ order ของ b คือ 31

[warut]

จะเก่งอะไรปานนั้น เนี่ยขนาดเรียนวิศวะยังเก่ง algebra
ขนาดนี้ ถ้าเรียนคณิตศาสตร์โดยตรงต้องรุ่งมากๆแน่เลยครับ

ทุกครั้งที่ผมได้แนวคิดจากที่ webboard นี้ผมก็มักจะลอง
simplify ต่อ อย่างในข้อนี้ผมเห็นว่าน่าจะ set ให้ m = 1
ไปเลยนะครับ