Shortlisted TMO8

[PP_nine]

A11 (บูรพา) มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ หรือไม่ซึ่ง $f(m+f(n))=f(m)+f(n)+f(n+2011)$ สำหรับทุกจำนวนนับ $m,n$

solution

แทน $m$ ด้วย $f(m)$ ได้ $f(f(m)+f(n))=f(f(m))+f(n)+f(n+2011)$

สลับตัวแปรและจัดรูปจึงได้ว่า $f(f(m))-f(m)-f(m+2011)$ เป็นค่าคงที่ทุกจำนวนนับ $m$

$\therefore f(f(m))=f(m)+f(m+2011)+c$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $c$

แทน $m$ ด้วย $m+f(n)$ ได้ $f(f(m)+f(n)+f(n+2011))=f(m)+f(n)+f(n+2011)+f(m+2011)+f(n)+f(n+2011)+c$

$f(f(m))+f(n)+f(n+2011)+f(n+2011)+f(n+4022)=f(m)+f(m+2011)+c+2f(n)+2f(n+2011)$

จัดรูปไปมาได้ $f(n+4022)=f(n)$ แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบเป็น $4022$

จากโจทย์แทน $n$ ด้วย $f(n)$ ได้เป็น $f(m+f(n)+f(n+2011)+c)=f(m)+f(f(n))+f(2011+f(n))$

$f(m+c)+f(n)+2f(n+2011)+f(n+4022)=f(m)+2f(n)+2f(n+2011)+f(2011)+c$

จัดรูปได้ $f(m+c)=f(m)+f(2011)+c$

ชัดเจนว่า $c\not=0$ เพราะถ้า $c=0$ จะทำให้ $f(2011)=0$ เกิดข้อขัดแย้ง

Case I : $c>0$

นั่นคือ $c\in\mathbb{N}$ แทน $m$ ด้วย $f(m)$ ได้เป็น $f(c+f(m))=f(f(m))+f(2011)+c$

$f(c)+f(m)+f(m+2011)=f(m)+f(m+2011)+f(2011)+2c$

$f(c)=2c+f(2011)$ แทนสมการเดิมได้ $f(m+c)=f(m)+f(c)-c$

$f(m+c)+c=f(m)+f(c)$ ใส่ $f$ ทั้งสองข้างเป็น $f(c)+f(m+c)+f(m+c+2011)=f(f(m))+f(c)+f(c+2011)$

แทน $m=2011$, $f(c)+f(c+2011)+f(c+4022)=f(2011)+f(4022)+c+f(c)+f(c+2011)$

แต่จากที่ $f$ เป็นฟังก์ชันคาบ, $f(c)=f(2011)+f(4022)+c$ แต่ $f(c)=c+f(2011)$ จึงได้ว่า $f(4022)=0$ เกิดข้อขัดแย้ง

Case II : $c<0$

นั่นคือ $d=-c\in\mathbb{N}$ ได้ว่า $f(m)=f(m-d)-f(2011)+d$

แทน $m$ ด้วย $m+d$, $f(m+d)=f(m)-f(2011)+d$

$f(m+d)+f(2011)=f(m)+d$ ใส่ $f$ ทั้งสองข้างเป็น $f(f(2011))+f(m+d)+f(m+d+2011)=f(d)+f(m)+f(m+2011)$

แทน $m=2011$, $f(2011)+f(4022)-d+f(d+2011)+f(d+4022)=f(d)+f(2011)+f(4022)$

จัดรูปเป็น $f(d+2011)=d$

แทนสมการเดิมได้ $f(m+d)+f(2011)=f(m)+f(d+2011)$

แทน $m$ ด้วย $f(m)$ เป็น $f(d)+f(m)+f(m+2011)+f(2011)=f(m)+f(m+2011)-d+f(d+2011)$

$f(d)+f(2011)=0$ เกิดข้อขัดแย้ง

$\therefore$ ไม่มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ซึ่งสอดคล้องกับโจทย์

[LightLucifer]

สดๆร้อนๆ 55+

[PP_nine]

C5 (เกษตร) เด็กชายสุธนมีเวลาอ่านหนังสือ 37 วันโดยแต่ละวันอ่านอย่างน้อย 1 ชม. (อ่านเต็มชั่วโมงทุกครั้ง) และทั้ง 37 วันอ่านรวมไม่เกิน 60 ชม.

จงแสดงว่าต้องมี block วันที่อ่านหนังสือรวม 13 ชม. พอดี

solution

ให้ $S_n$ แทนจำนวนชั่วโมงที่อ่านหนังสือตั้งแต่วันที่ 1 ถึงวันที่ n

และจากที่อ่านอย่างน้อยวันละ 1 ชม. จึงได้ว่าลำดับ $S_1,S_2,S_3,...,S_{37}$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้

$\therefore 1\leqslant S_1<S_2<S_3<...<S_{37}\leqslant 60$

และได้ว่า $14\leqslant S_1+13<S_2+13<S_3+13<...<S_{37}+13\leqslant 73$

$\therefore \left\{\,S_1,S_2,S_3,...,S_{37}\right\}\cup \left\{\,S_1+13,S_2+13,S_3+13,...,S_{37}+13\right\} =\left\{\,1,2,3,...,73\right\} $

โดยรังนกพิราบได้ว่ามีอย่างน้อยสองตัวที่เท่ากัน และไม่ได้มาจากกลุ่มเดียวกัน (เพราะแต่ละกลุ่มเป็นลำดับเพิ่มโดยแท้)

$\therefore \exists i,j \in \left\{\,1,2,3,...37\right\}$ ซึ่ง $i\not=j$ และ $S_i=S_j+13$

$S_i-S_j=13$ นั่นคือมีช่วงวัน (วันที่ j+1,..,i) ซึ่งอ่านรวมกันเป็น 13 ชม.พอดี

[กิมจิ]

ลิงค์ที่ใช้โหลดข้อสอบใช้ไม่ได้อ่ะคับ ใครมีข้อสอบช่วยลงให้ทีฮะ ขอบคุณคับ

[PP_nine]

http://www.mediafire.com/?0accz0w5kq6vnk8

[กิมจิ]

ขอบคุณนะครับ คุณ PP_nine

[polsk133]

ดันกระทู้หน่อยครับ เผื่ออ่านเตรียมสอบ

C7 ย่อๆนะครับ
ถ้า ข้อ i เป็นจริงจะได้ว่า ผลต่างเลขที่ นร ช ต่างชาติที่เป็นไปได้ต้องอยู่ในเซต {2,3,...,29}
สังเกตว่า ถ้ามี นร ช ต่างชาติ m คนในห้องนั้นๆแล้วผลต่างของเลขที่ที่ต่างกันที่เป็นไปได้คือ m-1 แบบ
จะได้ว่ามีผลต่างเลขที่ของแต่ละห้องรวมกันได้ 59-30=29 แบบ ดังนั้นมีผลต่างเลขที่ของ นร ช ที่เท่ากันจาก2ห้อง

ถ้าข้อ ii เป็นจริงจะได้ว่า ผลต่างเลขที่ของ นร ญ ต่างชาติที่เป็นไปได้คือ 1,2,...,28
ในทำนองเดียวกันจะได้ ผลต่างรวมกันจากทุกห้อง 29 แบบ ดังนั้นมีผลต่างเลขที่ของ นร ญ ที่เท่ากันจาก 2 ห้อง