ผิดตรงไหน ?

พอดีไปเห็น การแก้สมการแบบหนึ่งที่ทำแล้ว ผลของมันออกมาแปลกประหลาดดี เลยนำมาให้หลายๆคนลองขบคิดดูและหาคำอธิบายให้ได้ ว่ามันผิดปกติตรงไหน (เป็นการตรวจสอบความเข้าใจหรือพื้นฐานคณิตศาสตร์ไปในตัว)

กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริง และให้สมการ
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = 0 --- (1)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = -x^5 --- (2)
จากสมการที่ 1 จะได้ว่า
1 + x(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = 0 --- (3)
นำ (2) แทนใน (3)
1 - x^6 = 0 --- (4)
x = 1 --- (5)
เมื่อนำค่า x แทนลงในสมการ (1) จะได้ว่า
6 = 0

เป็นโจทย์ที่ดีมากเลยครับเพราะค่า x จาก 1-x^6=0 นั้น
จะมีค่า x ได้ 2ค่า คือ 1กับ -1
เเต่ค่าที่ได้นี้ ต้องนํามาตรวจคําตอบเสมอ
ดังนั้นจึงได้ค่า x=-1 ค่าเดียวเท่านั้น โดยเมื่อเเทนค่าxเเล้ว
จะได้สมการ 0=0 ซึ่งเป็นจริง

ถ้าเปลี่ยนจาก 6 เป็น 7 หรือกำลังที่เป็นคี่ล่ะ ทำไมไม่มีคำตอบล่ะ

ตั้งคำถามมาก็หลายวันแล้ว จะบอกคำตอบที่ผมคิดไว้ก็แล้วกัน

หากเราสังเกตให้ดีจะพบว่า สมการที่ 4 นั้นมีดีกรีเป็น 6 แสดงให้เห็นว่า คำตอบของสมการนี้จะมีทั้งสิ้น 6 ค่า แต่เนื่องจากว่าสมการเดิมของเรา(สมการที่ 1) มีดีกรี 5 หรือมีคำตอบทั้งสิ้น 5 ค่า คำตอบของสมการที่ 6 จึงมีเกินมา 1 ค่า ซึ่งอาจจะเป็นคำตอบของสมการเดิมหรือไม่ก็ได้ ดังนั้นคำตอบที่เราหามาได้จึงต้องตรวจสอบคำตอบก่อนเสมอ ซึ่งในโจทย์ข้อนี้พบว่า มันไม่ใช่คำตอบของสมการเดิม

ส่วนกรณีที่เราเปลี่ยนโจทย์นี้ใหม่โดยเริ่มจากกำลัง 6 จะได้สมการที่ 4 เป็น 1 - x^7 = 0 หรือ x = 1 ซึ่งก็ไม่ใช่คำตอบ น้อง ppzz จึงสงสัยว่าทำไมหาคำตอบไม่ได้ในลักษณะเดียวกับที่น้อง Paul บอกนั้น ก็เพราะว่าคำตอบของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดนั่นเอง ซึ่งคำตอบที่เกินมา 1 ค่านี้เป็นจำนวนจริงที่มาหลอกเรา